Theorem nn0o 10307

Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0o	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0o1gt2 10305	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
2		1m1e0 8108	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
3	2	oveq1i 5542	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 1) / 2) = (0 / 2)
4		2cn 8110	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		2ap0 8132	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
6	4, 5	div0api 7834	. . . . . . 7 ⊢ (0 / 2) = 0
7	3, 6	eqtri 2101	. . . . . 6 ⊢ ((1 − 1) / 2) = 0
8		0nn0 8303	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9	7, 8	eqeltri 2151	. . . . 5 ⊢ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0
10		oveq1 5539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
11	10	oveq1d 5547	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = ((1 − 1) / 2))
12	11	eleq1d 2147	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
13	12	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
14	9, 13	mpbiri 166	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
15	14	ex 113	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
16		2z 8379	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℤ)
18		nn0z 8371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		2re 8109	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
21		nn0re 8297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
22		ltle 7198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
23	20, 21, 22	sylancr 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
24	23	adantr 270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
25	24	impcom 123	. . . . . . 7 ⊢ ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 2 ≤ 𝑁)
26		eluz2 8625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
27	17, 19, 25, 26	syl3anbrc 1122	. . . . . 6 ⊢ ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
28		simprr 498	. . . . . 6 ⊢ ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
29	27, 28	jca 300	. . . . 5 ⊢ ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
30		nno 10306	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
31		nnnn0 8295	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
32	29, 30, 31	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
33	32	ex 113	. . 3 ⊢ (2 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
34	15, 33	jaoi 668	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
35	1, 34	mpcom 36	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   ≤ cle 7154   − cmin 7279   / cdiv 7760  ℕcn 8039  2c2 8089  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  nn0ob  10308