Theorem distrnqg 6577

Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distrnqg	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐴 ·Q (𝐵 +Q 𝐶)) = ((𝐴 ·Q 𝐵) +Q (𝐴 ·Q 𝐶)))

Proof of Theorem distrnqg

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6538	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		addpipqqs 6560	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
3		mulpipqqs 6563	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
4		mulclpi 6518	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N)
5		simpl 107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → 𝑦 ∈ N)
6		mulclpi 6518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
7	5, 6	jca 300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
8	4, 7	anim12i 331	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
9		an12 525	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦 ∈ N ∧ ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
10		3anass 923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N) ↔ (𝑦 ∈ N ∧ ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
11	9, 10	bitr4i 185	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
12	8, 11	sylib 120	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → (𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
13	12	an4s 552	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → (𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
14		mulcanenqec 6576	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N) → [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
16	3, 15	eqtr4d 2116	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q )
17		mulpipqqs 6563	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
18		mulpipqqs 6563	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑣), (𝑦 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
19		addpipqqs 6560	. 2 ⊢ ((((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q +Q [⟨(𝑥 ·N 𝑣), (𝑦 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
20		mulclpi 6518	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
21		mulclpi 6518	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
22		addclpi 6517	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
23	20, 21, 22	syl2an 283	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
24	23	an42s 553	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
25		mulclpi 6518	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
26	25	ad2ant2l 491	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
27	24, 26	jca 300	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
28		mulclpi 6518	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
29		mulclpi 6518	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
30	28, 29	anim12i 331	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
31	30	an4s 552	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
32		mulclpi 6518	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑣) ∈ N)
33		mulclpi 6518	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N)
34	32, 33	anim12i 331	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N))
35	34	an4s 552	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N))
36		an42 551	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ↔ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)))
37	36	anbi2i 444	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N))) ↔ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N))))
38		3anass 923	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ↔ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N))))
39		3anass 923	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ↔ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N))))
40	37, 38, 39	3bitr4i 210	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ↔ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)))
41		mulclpi 6518	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑥) ∈ N)
42	41	ancoms 264	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑥) ∈ N)
43		distrpig 6523	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ·N 𝑥) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
44	42, 20, 21, 43	syl3an 1211	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
45		simp1r 963	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑦 ∈ N)
46		simp1l 962	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑥 ∈ N)
47	20	3ad2ant2 960	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
48	21	3ad2ant3 961	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
49	47, 48, 22	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
50		mulasspig 6522	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
51	45, 46, 49, 50	syl3anc 1169	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
52		mulcompig 6521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
53	52	oveq1d 5547	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)))
54	53	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)))
55		simpll 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑥 ∈ N)
56		simplr 496	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑦 ∈ N)
57		simprl 497	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑧 ∈ N)
58		mulcompig 6521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
59	58	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
60		mulasspig 6522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ℎ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N ℎ)))
61	60	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ℎ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N ℎ)))
62		simprr 498	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑢 ∈ N)
63		mulclpi 6518	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
64	63	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
65	55, 56, 57, 59, 61, 62, 64	caov4d 5705	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
66	54, 65	eqtr3d 2115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
67	66	3adant3 958	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
68		simplr 496	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑦 ∈ N)
69		simpll 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑥 ∈ N)
70		simprl 497	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑤 ∈ N)
71	58	adantl 271	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
72	60	adantl 271	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ℎ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N ℎ)))
73		simprr 498	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑣 ∈ N)
74	63	adantl 271	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
75	68, 69, 70, 71, 72, 73, 74	caov4d 5705	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣)))
76	75	3adant2 957	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣)))
77	67, 76	oveq12d 5550	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
78	44, 51, 77	3eqtr3d 2121	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
79	40, 78	sylbir 133	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
80	70	3adant2 957	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑤 ∈ N)
81	62	3adant3 958	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑢 ∈ N)
82	80, 81, 25	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
83		mulasspig 6522	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))))
84	45, 45, 82, 83	syl3anc 1169	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))))
85	58	adantl 271	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
86	60	adantl 271	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ℎ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N ℎ)))
87	63	adantl 271	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
88	45, 45, 80, 85, 86, 81, 87	caov4d 5705	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
89	84, 88	eqtr3d 2115	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
90	40, 89	sylbir 133	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
91	1, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90	ecovidi 6241	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐴 ·Q (𝐵 +Q 𝐶)) = ((𝐴 ·Q 𝐵) +Q (𝐴 ·Q 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ⟨cop 3401  (class class class)co 5532  [cec 6127  Ncnpi 6462   +_N cpli 6463   ·_N cmi 6464   ~_Q ceq 6469  Qcnq 6470   +_Q cplq 6472   ·_Q cmq 6473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540

This theorem is referenced by:  ltaddnq  6597  halfnqq  6600  addnqprl  6719  addnqpru  6720  prmuloclemcalc  6755  distrlem1prl  6772  distrlem1pru  6773  distrlem4prl  6774  distrlem4pru  6775