Theorem qbtwnz 9260

Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a rational number. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qbtwnz	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem qbtwnz

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qbtwnzlemex 9259	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
2		simplrl 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
3	2	zred 8469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4		qre 8710	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 471	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simplrr 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
7	6	zred 8469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		1red 7134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
9	7, 8	readdcld 7148	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
10		simprll 503	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥 ≤ 𝐴)
11		simprrr 506	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝐴 < (𝑦 + 1))
12	3, 5, 9, 10, 11	lelttrd 7234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥 < (𝑦 + 1))
13		zleltp1 8406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 < (𝑦 + 1)))
14	2, 6, 13	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 < (𝑦 + 1)))
15	12, 14	mpbird 165	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥 ≤ 𝑦)
16	3, 8	readdcld 7148	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
17		simprrl 505	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦 ≤ 𝐴)
18		simprlr 504	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝐴 < (𝑥 + 1))
19	7, 5, 16, 17, 18	lelttrd 7234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦 < (𝑥 + 1))
20		zleltp1 8406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
21	6, 2, 20	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
22	19, 21	mpbird 165	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦 ≤ 𝑥)
23	3, 7	letri3d 7226	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
24	15, 22, 23	mpbir2and 885	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥 = 𝑦)
25	24	ex 113	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1))) → 𝑥 = 𝑦))
26	25	ralrimivva 2443	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1))) → 𝑥 = 𝑦))
27		breq1 3788	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑦 ≤ 𝐴))
28		oveq1 5539	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 1) = (𝑦 + 1))
29	28	breq2d 3797	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < (𝑦 + 1)))
30	27, 29	anbi12d 456	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1))))
31	30	rmo4 2785	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑦 + 1))) → 𝑥 = 𝑦))
32	26, 31	sylibr 132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃*𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
33		reu5 2566	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ ∃*𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
34	1, 32, 33	sylanbrc 408	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  ∃wrex 2349  ∃!wreu 2350  ∃*wrmo 2351   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   ≤ cle 7154  ℤcz 8351  ℚcq 8704

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-q 8705  df-rp 8735

This theorem is referenced by:  flqcl  9277  flqlelt  9278  flqbi  9292