Theorem 0oval 27643

Description: Value of the zero operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
0oval.1	|- X = ( BaseSet ` U )
0oval.6	|- Z = ( 0vec ` W )
0oval.0	|- O = ( U 0op W )

Assertion

Ref	Expression
0oval	|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( O ` A ) = Z )

Proof of Theorem 0oval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0oval.1	. . . . 5 |- X = ( BaseSet ` U )
2		0oval.6	. . . . 5 |- Z = ( 0vec ` W )
3		0oval.0	. . . . 5 |- O = ( U 0op W )
4	1, 2, 3	0ofval 27642	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> O = ( X X. { Z } ) )
5	4	fveq1d 6193	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( O ` A ) = ( ( X X. { Z } ) ` A ) )
6	5	3adant3 1081	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( O ` A ) = ( ( X X. { Z } ) ` A ) )
7		fvex 6201	. . . . 5 |- ( 0vec ` W ) e. _V
8	2, 7	eqeltri 2697	. . . 4 |- Z e. _V
9	8	fvconst2 6469	. . 3 |- ( A e. X -> ( ( X X. { Z } ) ` A ) = Z )
10	9	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( ( X X. { Z } ) ` A ) = Z )
11	6, 10	eqtrd 2656	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( O ` A ) = Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   0veccn0v 27443   0op c0o 27598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-0o 27602

This theorem is referenced by:  0lno  27645  nmoo0  27646  nmlno0lem  27648