Theorem 0oo 27644

Description: The zero operator is an operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
0oo.1	|- X = ( BaseSet ` U )
0oo.2	|- Y = ( BaseSet ` W )
0oo.0	|- Z = ( U 0op W )

Assertion

Ref	Expression
0oo	|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> Z : X --> Y )

Proof of Theorem 0oo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . . 5 |- ( 0vec ` W ) e. _V
2	1	fconst 6091	. . . 4 |- ( X X. { ( 0vec ` W ) } ) : X --> { ( 0vec ` W ) }
3		0oo.2	. . . . . 6 |- Y = ( BaseSet ` W )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0vec ` W ) = ( 0vec ` W )
5	3, 4	nvzcl 27489	. . . . 5 |- ( W e. NrmCVec -> ( 0vec ` W ) e. Y )
6	5	snssd 4340	. . . 4 |- ( W e. NrmCVec -> { ( 0vec ` W ) } C_ Y )
7		fss 6056	. . . 4 |- ( ( ( X X. { ( 0vec ` W ) } ) : X --> { ( 0vec ` W ) } /\ { ( 0vec ` W ) } C_ Y ) -> ( X X. { ( 0vec ` W ) } ) : X --> Y )
8	2, 6, 7	sylancr 695	. . 3 |- ( W e. NrmCVec -> ( X X. { ( 0vec ` W ) } ) : X --> Y )
9	8	adantl 482	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( X X. { ( 0vec ` W ) } ) : X --> Y )
10		0oo.1	. . . 4 |- X = ( BaseSet ` U )
11		0oo.0	. . . 4 |- Z = ( U 0op W )
12	10, 4, 11	0ofval 27642	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> Z = ( X X. { ( 0vec ` W ) } ) )
13	12	feq1d 6030	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( Z : X --> Y <-> ( X X. { ( 0vec ` W ) } ) : X --> Y ) )
14	9, 13	mpbird 247	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> Z : X --> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {csn 4177   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   0veccn0v 27443   0op c0o 27598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-0o 27602

This theorem is referenced by:  0lno  27645  nmoo0  27646  nmlno0lem  27648