Theorem nmlno0lem 27648

Description: Lemma for nmlno0i 27649. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlno0.3	|- N = ( U normOpOLD W )
nmlno0.0	|- Z = ( U 0op W )
nmlno0.7	|- L = ( U LnOp W )
nmlno0lem.u	|- U e. NrmCVec
nmlno0lem.w	|- W e. NrmCVec
nmlno0lem.l	|- T e. L
nmlno0lem.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nmlno0lem.2	|- Y = ( BaseSet ` W )
nmlno0lem.r	|- R = ( .sOLD ` U )
nmlno0lem.s	|- S = ( .sOLD ` W )
nmlno0lem.p	|- P = ( 0vec ` U )
nmlno0lem.q	|- Q = ( 0vec ` W )
nmlno0lem.k	|- K = ( normCV ` U )
nmlno0lem.m	|- M = ( normCV ` W )

Assertion

Ref	Expression
nmlno0lem	|- ( ( N ` T ) = 0 <-> T = Z )

Proof of Theorem nmlno0lem

Dummy variables y z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmlno0lem.u	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U e. NrmCVec
2		nmlno0lem.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X = ( BaseSet ` U )
3		nmlno0lem.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- K = ( normCV ` U )
4	2, 3	nvcl 27516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( K ` x ) e. RR )
5	1, 4	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X -> ( K ` x ) e. RR )
6	5	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X -> ( K ` x ) e. CC )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` x ) e. CC )
8		nmlno0lem.p	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- P = ( 0vec ` U )
9	2, 8, 3	nvz 27524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( ( K ` x ) = 0 <-> x = P ) )
10	1, 9	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X -> ( ( K ` x ) = 0 <-> x = P ) )
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = P -> ( T ` x ) = ( T ` P ) )
12		nmlno0lem.w	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- W e. NrmCVec
13		nmlno0lem.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T e. L
14		nmlno0lem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Y = ( BaseSet ` W )
15		nmlno0lem.q	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Q = ( 0vec ` W )
16		nmlno0.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- L = ( U LnOp W )
17	2, 14, 8, 15, 16	lno0 27611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> ( T ` P ) = Q )
18	1, 12, 13, 17	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T ` P ) = Q
19	11, 18	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = P -> ( T ` x ) = Q )
20	10, 19	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X -> ( ( K ` x ) = 0 -> ( T ` x ) = Q ) )
21	20	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X -> ( ( T ` x ) =/= Q -> ( K ` x ) =/= 0 ) )
22	21	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` x ) =/= 0 )
23	7, 22	recne0d 10795	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( 1 / ( K ` x ) ) =/= 0 )
24		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( T ` x ) =/= Q )
25	7, 22	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC )
26	2, 14, 16	lnof 27610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> T : X --> Y )
27	1, 12, 13, 26	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T : X --> Y
28	27	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X -> ( T ` x ) e. Y )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( T ` x ) e. Y )
30		nmlno0lem.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S = ( .sOLD ` W )
31	14, 30, 15	nvmul0or 27505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
32	12, 31	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
33	25, 29, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
34	33	necon3abid 2830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> -. ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
35		neanior 2886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) =/= 0 /\ ( T ` x ) =/= Q ) <-> -. ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) )
36	34, 35	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) =/= 0 /\ ( T ` x ) =/= Q ) ) )
37	23, 24, 36	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q )
38	14, 30	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y )
39	12, 38	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y )
40	25, 29, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y )
41		nmlno0lem.m	. . . . . . . . . . . 12 |- M = ( normCV ` W )
42	14, 15, 41	nvgt0 27529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
43	12, 40, 42	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
44	37, 43	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) )
45	44	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( x e. X -> ( ( T ` x ) =/= Q -> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
46	45	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( ( T ` x ) =/= Q -> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
47	14, 41	nmosetre 27619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR )
48	12, 27, 47	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR
49		ressxr 10083	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ RR*
50	48, 49	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR*
51		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> x e. X )
52		nmlno0lem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- R = ( .sOLD ` U )
53	2, 52	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X )
54	1, 53	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X )
55	25, 51, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X )
56	19	necon3i 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T ` x ) =/= Q -> x =/= P )
57	2, 52, 8, 3	nv1 27530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X /\ x =/= P ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 )
58	1, 57	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ x =/= P ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 )
59	56, 58	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 )
60		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
61	59, 60	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) e. RR )
62		eqle 10139	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) e. RR /\ ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 )
63	61, 59, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 )
64	1, 12, 13	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L )
65	2, 52, 30, 16	lnomul 27615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) ) -> ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) )
66	64, 65	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) -> ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) )
67	25, 51, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) )
68	67	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) )
70		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( K ` z ) = ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) )
71	70	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( ( K ` z ) <_ 1 <-> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 ) )
72		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( T ` z ) = ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) )
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( M ` ( T ` z ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) )
74	73	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) <-> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) ) )
75	71, 74	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) <-> ( ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) ) ) )
76	75	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X /\ ( ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) ) ) -> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
77	55, 63, 69, 76	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
78		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. _V
79		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) -> ( y = ( M ` ( T ` z ) ) <-> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
80	79	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) -> ( ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) <-> ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) ) )
81	80	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) -> ( E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) <-> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) ) )
82	78, 81	elab 3350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } <-> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
83	77, 82	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } )
84		supxrub 12154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR* /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
85	50, 83, 84	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
86	85	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
87		nmlno0.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- N = ( U normOpOLD W )
88	2, 14, 3, 41, 87	nmooval 27618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( N ` T ) = sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
89	1, 12, 27, 88	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ` T ) = sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < )
90	89	eqeq1i 2627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N ` T ) = 0 <-> sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) = 0 )
91	90	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` T ) = 0 -> sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) = 0 )
92	91	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) = 0 )
93	86, 92	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 )
94	14, 41	nvcl 27516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. RR )
95	12, 40, 94	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. RR )
96		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
97		lenlt 10116	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
98	95, 96, 97	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
99	98	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
100	93, 99	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) )
101	100	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( ( T ` x ) =/= Q -> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
102	46, 101	pm2.65d 187	. . . . . 6 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> -. ( T ` x ) =/= Q )
103		nne 2798	. . . . . 6 |- ( -. ( T ` x ) =/= Q <-> ( T ` x ) = Q )
104	102, 103	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( T ` x ) = Q )
105		nmlno0.0	. . . . . . . 8 |- Z = ( U 0op W )
106	2, 15, 105	0oval 27643	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( Z ` x ) = Q )
107	1, 12, 106	mp3an12 1414	. . . . . 6 |- ( x e. X -> ( Z ` x ) = Q )
108	107	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( Z ` x ) = Q )
109	104, 108	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( T ` x ) = ( Z ` x ) )
110	109	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( N ` T ) = 0 -> A. x e. X ( T ` x ) = ( Z ` x ) )
111		ffn 6045	. . . . 5 |- ( T : X --> Y -> T Fn X )
112	27, 111	ax-mp 5	. . . 4 |- T Fn X
113	2, 14, 105	0oo 27644	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> Z : X --> Y )
114	1, 12, 113	mp2an 708	. . . . 5 |- Z : X --> Y
115		ffn 6045	. . . . 5 |- ( Z : X --> Y -> Z Fn X )
116	114, 115	ax-mp 5	. . . 4 |- Z Fn X
117		eqfnfv 6311	. . . 4 |- ( ( T Fn X /\ Z Fn X ) -> ( T = Z <-> A. x e. X ( T ` x ) = ( Z ` x ) ) )
118	112, 116, 117	mp2an 708	. . 3 |- ( T = Z <-> A. x e. X ( T ` x ) = ( Z ` x ) )
119	110, 118	sylibr 224	. 2 |- ( ( N ` T ) = 0 -> T = Z )
120		fveq2 6191	. . 3 |- ( T = Z -> ( N ` T ) = ( N ` Z ) )
121	87, 105	nmoo0 27646	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( N ` Z ) = 0 )
122	1, 12, 121	mp2an 708	. . 3 |- ( N ` Z ) = 0
123	120, 122	syl6eq 2672	. 2 |- ( T = Z -> ( N ` T ) = 0 )
124	119, 123	impbii 199	1 |- ( ( N ` T ) = 0 <-> T = Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   0veccn0v 27443   norm_CVcnmcv 27445   LnOp clno 27595   normOpOLDcnmoo 27596   0op c0o 27598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-lno 27599  df-nmoo 27600  df-0o 27602

This theorem is referenced by:  nmlno0i  27649