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Theorem 0lno 27645
Description: The zero operator is linear. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0lno.0 |- Z = ( U 0op W )
0lno.7 |- L = ( U LnOp W )
Assertion
Ref Expression
0lno |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> Z e. L )
Proof of Theorem 0lno
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . 3 |- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` U )
2 eqid 2622 . . 3 |- ( BaseSet ` W ) = ( BaseSet ` W )
3 0lno.0 . . 3 |- Z = ( U 0op W )
41, 2, 30oo 27644 . 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> Z : ( BaseSet ` U ) --> ( BaseSet ` W ) )
5 simplll 798 . . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> U e. NrmCVec )
6 simpllr 799 . . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> W e. NrmCVec )
7 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> x e. CC )
8 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> y e. ( BaseSet ` U ) )
9 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
101, 9nvscl 27481 . . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x ( .sOLD ` U ) y ) e. ( BaseSet ` U ) )
115, 7, 8, 10syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( x ( .sOLD ` U ) y ) e. ( BaseSet ` U ) )
12 simprr 796 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> z e. ( BaseSet ` U ) )
13 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
141, 13nvgcl 27475 . . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x ( .sOLD ` U ) y ) e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) e. ( BaseSet ` U ) )
155, 11, 12, 14syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) e. ( BaseSet ` U ) )
16 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( 0vec ` W ) = ( 0vec ` W )
171, 16, 30oval 27643 . . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( Z ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) = ( 0vec ` W ) )
185, 6, 15, 17syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( Z ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) = ( 0vec ` W ) )
191, 16, 30oval 27643 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( Z ` y ) = ( 0vec ` W ) )
205, 6, 8, 19syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( Z ` y ) = ( 0vec ` W ) )
2120oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( x ( .sOLD ` W ) ( Z ` y ) ) = ( x ( .sOLD ` W ) ( 0vec ` W ) ) )
221, 16, 30oval 27643 . . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( Z ` z ) = ( 0vec ` W ) )
235, 6, 12, 22syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( Z ` z ) = ( 0vec ` W ) )
2421, 23oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( x ( .sOLD ` W ) ( Z ` y ) ) ( +v ` W ) ( Z ` z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` W ) ( 0vec ` W ) ) ( +v ` W ) ( 0vec ` W ) ) )
25 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( .sOLD ` W ) = ( .sOLD ` W )
2625, 16nvsz 27493 . . . . . . . 8 |- ( ( W e. NrmCVec /\ x e. CC ) -> ( x ( .sOLD ` W ) ( 0vec ` W ) ) = ( 0vec ` W ) )
276, 7, 26syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( x ( .sOLD ` W ) ( 0vec ` W ) ) = ( 0vec ` W ) )
2827oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( x ( .sOLD ` W ) ( 0vec ` W ) ) ( +v ` W ) ( 0vec ` W ) ) = ( ( 0vec ` W ) ( +v ` W ) ( 0vec ` W ) ) )
292, 16nvzcl 27489 . . . . . . . 8 |- ( W e. NrmCVec -> ( 0vec ` W ) e. ( BaseSet ` W ) )
306, 29syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( 0vec ` W ) e. ( BaseSet ` W ) )
31 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( +v ` W ) = ( +v ` W )
322, 31, 16nv0rid 27490 . . . . . . 7 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( 0vec ` W ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( 0vec ` W ) ( +v ` W ) ( 0vec ` W ) ) = ( 0vec ` W ) )
336, 30, 32syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( 0vec ` W ) ( +v ` W ) ( 0vec ` W ) ) = ( 0vec ` W ) )
3424, 28, 333eqtrd 2660 . . . . 5 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( x ( .sOLD ` W ) ( Z ` y ) ) ( +v ` W ) ( Z ` z ) ) = ( 0vec ` W ) )
3518, 34eqtr4d 2659 . . . 4 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) /\ ( y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( Z ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` W ) ( Z ` y ) ) ( +v ` W ) ( Z ` z ) ) )
3635ralrimivva 2971 . . 3 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) /\ x e. CC ) -> A. y e. ( BaseSet ` U ) A. z e. ( BaseSet ` U ) ( Z ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` W ) ( Z ` y ) ) ( +v ` W ) ( Z ` z ) ) )
3736ralrimiva 2966 . 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> A. x e. CC A. y e. ( BaseSet ` U ) A. z e. ( BaseSet ` U ) ( Z ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` W ) ( Z ` y ) ) ( +v ` W ) ( Z ` z ) ) )
38 0lno.7 . . 3 |- L = ( U LnOp W )
391, 2, 13, 31, 9, 25, 38islno 27608 . 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( Z e. L <-> ( Z : ( BaseSet ` U ) --> ( BaseSet ` W ) /\ A. x e. CC A. y e. ( BaseSet ` U ) A. z e. ( BaseSet ` U ) ( Z ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` W ) ( Z ` y ) ) ( +v ` W ) ( Z ` z ) ) ) ) )
404, 37, 39mpbir2and 957 1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> Z e. L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   0veccn0v 27443   LnOp clno 27595   0op c0o 27598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-lno 27599  df-0o 27602
This theorem is referenced by:  0blo  27647  nmlno0i  27649  blocn  27662
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