3dim3 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem 3dim3 34755

Description: Construct a new layer on top of 3 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
3dim0.j	$.\/$
3dim0.l
3dim0.a

**Assertion**
Ref	Expression
3dim3	$/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$

Distinct variable groups:

$.\/$ ,

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem 3dim3 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dim0.j	. . . 4 $.\/$
2		3dim0.l	. . . 4
3		3dim0.a	. . . 4
4	1, 2, 3	3dim2 34754	. . 3 $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
5	4	3adant3r1 1274	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
6		simpl2l 1114	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$
7		simp3l 1089	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
8		simp1l 1085	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
9		simp1r2 1158	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
10	1, 3	hlatjidm 34655	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $.\/$
11	8, 9, 10	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
12	11	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
13	12	breq2d 4665	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
14	7, 13	mtbird 315	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
15		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 $.\/$ $.\/$
16	15	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
17	16	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
18	17	notbid 308	. . . . . . . 8 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
19	18	biimparc 504	. . . . . . 7 $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
20	14, 19	sylan 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
21		breq1 4656	. . . . . . . 8 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
22	21	notbid 308	. . . . . . 7 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
23	22	rspcev 3309	. . . . . 6 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
24	6, 20, 23	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
25		simp2l 1087	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
26	25	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$
27	7	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
28	1, 3	hlatjass 34656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
29	28	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
31		hllat 34650	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	8, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
33		simp1r1 1157	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35	34, 3	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . . 15
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
37		simp1r3 1159	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
38	34, 1, 3	hlatjcl 34653	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $.\/$
39	8, 9, 37, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
40	32, 36, 39	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
42	34, 2, 1	latleeqj1 17063	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
44	43	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
45	30, 44	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
46	45	breq2d 4665	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
47	27, 46	mtbird 315	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
48	26, 47, 23	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
49		simpl2r 1115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
51	8, 33, 9	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
52	51	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
53	37, 25	jca 554	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$
54	53	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$
55		simpl3r 1117	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
56	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
57		simplr 792	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
58		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
59	1, 2, 3	3dimlem3a 34746	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
60	52, 54, 56, 57, 58, 59	syl113anc 1338	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
61		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
62	61	notbid 308	. . . . . . . . 9 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
63	62	rspcev 3309	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
64	50, 60, 63	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
65		simpl2l 1114	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$
66	65	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
67	51	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
68	53	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$
69		simpl3l 1116	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
70	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
71		simplr 792	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
72		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
73	1, 2, 3	3dimlem4a 34749	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
74	67, 68, 70, 71, 72, 73	syl113anc 1338	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
75	66, 74, 23	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
76	64, 75	pm2.61dan 832	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
77	48, 76	pm2.61dan 832	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
78	24, 77	pm2.61dane 2881	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
79	78	3exp 1264	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
80	79	rexlimdvv 3037	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
81	5, 80	mpd 15	1 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cbs 15857

cple 15948

cjn 16944

clat 17045

catm 34550

chlt 34637

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-preset 16928 df-poset 16946 df-plt 16958 df-lub 16974 df-glb 16975 df-join 16976 df-meet 16977 df-p0 17039 df-p1 17040 df-lat 17046 df-clat 17108 df-oposet 34463 df-ol 34465 df-oml 34466 df-covers 34553 df-ats 34554 df-atl 34585 df-cvlat 34609 df-hlat 34638

This theorem is referenced by: lvolex3N 34824 dalem18 34967 dvh4dimat 36727

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