Theorem latleeqj1 17063

Description: Less-than-or-equal-to in terms of join. (chlejb1 28371 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	|- B = ( Base ` K )
latlej.l	|- .<_ = ( le ` K )
latlej.j	|- .\/ = ( join ` K )

Assertion

Ref	Expression
latleeqj1	|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( X .\/ Y ) = Y ) )

Proof of Theorem latleeqj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
2		latlej.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` K )
3	1, 2	latref 17053	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ Y e. B ) -> Y .<_ Y )
4	3	3adant2 1080	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y .<_ Y )
5	4	biantrud 528	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( X .<_ Y /\ Y .<_ Y ) ) )
6		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. Lat )
7		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
8		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
9		latlej.j	. . . . . 6 |- .\/ = ( join ` K )
10	1, 2, 9	latjle12 17062	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Y ) <-> ( X .\/ Y ) .<_ Y ) )
11	6, 7, 8, 8, 10	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Y ) <-> ( X .\/ Y ) .<_ Y ) )
12	5, 11	bitrd 268	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( X .\/ Y ) .<_ Y ) )
13	1, 2, 9	latlej2 17061	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y .<_ ( X .\/ Y ) )
14	13	biantrud 528	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .\/ Y ) .<_ Y <-> ( ( X .\/ Y ) .<_ Y /\ Y .<_ ( X .\/ Y ) ) ) )
15	12, 14	bitrd 268	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( ( X .\/ Y ) .<_ Y /\ Y .<_ ( X .\/ Y ) ) ) )
16		latpos 17050	. . . 4 |- ( K e. Lat -> K e. Poset )
17	16	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. Poset )
18	1, 9	latjcl 17051	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
19	1, 2	posasymb 16952	. . 3 |- ( ( K e. Poset /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .\/ Y ) .<_ Y /\ Y .<_ ( X .\/ Y ) ) <-> ( X .\/ Y ) = Y ) )
20	17, 18, 8, 19	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .\/ Y ) .<_ Y /\ Y .<_ ( X .\/ Y ) ) <-> ( X .\/ Y ) = Y ) )
21	15, 20	bitrd 268	1 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( X .\/ Y ) = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   joincjn 16944   Latclat 17045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-lat 17046

This theorem is referenced by:  latleeqj2  17064  latnle  17085  cvlsupr2  34630  hlrelat5N  34687  3dim3  34755  dalem-cly  34957  dalem44  35002  cdleme30a  35666