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Theorem ostth2lem2 25323

Description: Lemma for ostth2 25326. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
qrng.q	ℂ_fld ↾_s
qabsabv.a	AbsVal
padic.j
ostth.k
ostth.1
ostth2.2
ostth2.3
ostth2.4
ostth2.5
ostth2.6
ostth2.7

**Assertion**
Ref	Expression
ostth2lem2	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem ostth2lem2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
2	1	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 6666	. . . . . . 7
4		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
5		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
6	4, 5	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
7	6	breq2d 4665	. . . . . . 7
8	3, 7	raleqbidv 3152	. . . . . 6
9	8	imbi2d 330	. . . . 5
10		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
11	10	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . 7
13		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
14		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
15	13, 14	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
16	15	breq2d 4665	. . . . . . 7
17	12, 16	raleqbidv 3152	. . . . . 6
18	17	imbi2d 330	. . . . 5
19		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
20	19	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . 7
22		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
23		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
24	22, 23	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
25	24	breq2d 4665	. . . . . . 7
26	21, 25	raleqbidv 3152	. . . . . 6
27	26	imbi2d 330	. . . . 5
28		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
29	28	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
30	29	oveq2d 6666	. . . . . . 7
31		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
32		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
33	31, 32	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
34	33	breq2d 4665	. . . . . . 7
35	30, 34	raleqbidv 3152	. . . . . 6
36	35	imbi2d 330	. . . . 5
37		ostth2.5	. . . . . . . . . . . . . 14
38		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . . 14
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12
41	40	exp0d 13002	. . . . . . . . . . 11
42	41	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
43		1m1e0 11089	. . . . . . . . . 10
44	42, 43	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
45	44	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
46	45	eleq2d 2687	. . . . . . 7
47		0le0 11110	. . . . . . . . . 10
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9
49		ostth.1	. . . . . . . . . 10
50		qabsabv.a	. . . . . . . . . . 11 AbsVal
51		qrng.q	. . . . . . . . . . . 12 ℂ_fld ↾_s
52	51	qrng0 25310	. . . . . . . . . . 11
53	50, 52	abv0 18831	. . . . . . . . . 10
54	49, 53	syl 17	. . . . . . . . 9
55	40	mul01d 10235	. . . . . . . . . . 11
56	55	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
57		ostth2.7	. . . . . . . . . . . . . 14
58		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . 15
59		nnq 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	39, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
61	51	qrngbas 25308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
62	50, 61	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
63	49, 60, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15
64		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
65	58, 63, 64	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14
66	57, 65	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13
67	66	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12
68		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . 12
69		expcl 12878	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
70	67, 68, 69	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11
71	70	mul02d 10234	. . . . . . . . . 10
72	56, 71	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9
73	48, 54, 72	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8
74		elfz1eq 12352	. . . . . . . . . 10
75	74	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
76	75	breq1d 4663	. . . . . . . 8
77	73, 76	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7
78	46, 77	sylbid 230	. . . . . 6
79	78	ralrimiv 2965	. . . . 5
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
81	80	breq1d 4663	. . . . . . . . 9
82	81	cbvralv 3171	. . . . . . . 8
83	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
84		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14
85	84	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
86		zq 11794	. . . . . . . . . . . . 13
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
88	50, 61	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
89	83, 87, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
90	39	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
91		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
92	90, 91	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
93	85, 92	zmodcld 12691	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
95		zq 11794	. . . . . . . . . . . . . 14
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
97	50, 61	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
98	83, 96, 97	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
99	90, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
100	83, 99, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
101	100, 91	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
102	85	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
103	102, 92	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
104	103	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
105		zq 11794	. . . . . . . . . . . . . . 15
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
107	50, 61	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	83, 106, 107	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
109	101, 108	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
110	98, 109	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
111	90	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
112		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . 15
113	112	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
115	111, 114	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
116	66	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
117		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . 14
118	117	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
119	116, 118	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
120	115, 119	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
121		nnq 11801	. . . . . . . . . . . . . . 15
122	92, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
123		qmulcl 11806	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
124	122, 106, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
125		qex 11800	. . . . . . . . . . . . . . 15
126		cnfldadd 19751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ_fld
127	51, 126	ressplusg 15993	. . . . . . . . . . . . . . 15
128	125, 127	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
129	50, 61, 128	abvtri 18830	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
130	83, 96, 124, 129	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
131	92	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
132		modval 12670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
133	102, 131, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
134	133	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
135	102	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
136		qcn 11802	. . . . . . . . . . . . . . . 16
137	124, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
138	135, 137	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
139	134, 138	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
140	139	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
141		cnfldmul 19752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℂ_fld
142	51, 141	ressmulr 16006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
143	125, 142	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
144	50, 61, 143	abvmul 18829	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
145	83, 122, 106, 144	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
146	51, 50	qabvexp 25315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
147	83, 99, 91, 146	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
148	147	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
149	145, 148	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
150	149	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
151	130, 140, 150	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
152	116, 91	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
153	115, 152	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
154		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
155	154	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
156	111, 155	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
157	156, 152	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
158	111, 152	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
159		zmodfz 12692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
160	85, 92, 159	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
161		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
162		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	162	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16
164	163	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15
165	160, 161, 164	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
166	111, 101	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
167	101	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
168	108	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
169	167, 168	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
170	50, 61	abvge0 18825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
171	83, 99, 170	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
172	100, 91, 171	expge0d 13026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
173	104	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
174		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
175	174	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
176	92	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
177	92	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
178		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
179	102, 175, 176, 177, 178	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
180		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
181	103, 179, 180	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
182	51, 50	qabvle 25314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
183	83, 181, 182	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
184		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
185		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
186	90, 118	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
187	186	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
188		elfzm11 12411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
189	185, 187, 188	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	184, 189	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	190	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
192	90	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
193	192, 91	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
194	191, 193	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
195		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
196	102, 111, 176, 177, 195	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
197	194, 196	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
198	90	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
199		fllt 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
200	103, 198, 199	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
201	197, 200	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
202	173, 111, 201	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
203	108, 173, 111, 183, 202	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
204	108, 111, 101, 172, 203	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
205	169, 204	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
206	90	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
207	206	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
208		max1 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
209	100, 58, 208	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
210	209, 57	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
211		leexp1a 12919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
212	100, 116, 91, 171, 210, 211	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
213	101, 152, 111, 207, 212	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
214	109, 166, 158, 205, 213	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
215	98, 109, 157, 158, 165, 214	le2addd 10646	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
216		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
217	216	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
218		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
219	192, 217, 218	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
220	192	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
221	220	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
222	219, 221	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
223	222	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
224	192, 217	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
225	152	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
226	224, 192, 225	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
227	223, 226	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
228	215, 227	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
229		max2 12018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
230	100, 58, 229	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
231	230, 57	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
232		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
233	232	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
234		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . . 16
235	233, 234	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
236		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . 15
237	235, 236	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
238	116, 231, 237	leexp2ad 13041	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
239	90, 113	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
240	239	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
241		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
242	152, 119, 115, 240, 241	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
243	238, 242	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
244	110, 153, 120, 228, 243	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
245	89, 110, 120, 151, 244	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
246	245	expr 643	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
247	246	ralrimdva 2969	. . . . . . . 8 $/\$
248	82, 247	syl5bi 232	. . . . . . 7 $/\$
249	248	expcom 451	. . . . . 6
250	249	a2d 29	. . . . 5
251	9, 18, 27, 36, 79, 250	nn0ind 11472	. . . 4
252	251	impcom 446	. . 3 $/\$
253		fveq2 6191	. . . . 5
254	253	breq1d 4663	. . . 4
255	254	rspccv 3306	. . 3
256	252, 255	syl 17	. 2 $/\$
257	256	3impia 1261	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

cvv 3200

cif 4086 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cq 11788

crp 11832

cfz 12326

cfl 12591

cmo 12668

cexp 12860

cprime 15385

cpc 15541 ↾_s cress 15858

cplusg 15941

cmulr 15942 AbsValcabv 18816 ℂ_fldccnfld 19746

clog 24301

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-tpos 7352 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-0g 16102 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-subg 17591 df-cmn 18195 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-oppr 18623 df-dvdsr 18641 df-unit 18642 df-invr 18672 df-dvr 18683 df-drng 18749 df-subrg 18778 df-abv 18817 df-cnfld 19747

This theorem is referenced by: ostth2lem3 25324

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