Theorem ostth3 25327

Description: - Lemma for ostth 25328: p-adic case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth3.2	|- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
ostth3.3	|- ( ph -> P e. Prime )
ostth3.4	|- ( ph -> ( F ` P ) < 1 )
ostth3.5	|- R = -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) )
ostth3.6	|- S = if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) )

Assertion

Ref	Expression
ostth3	|- ( ph -> E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) )

Distinct variable groups:   n, p, y   n, K   x, n, a, p, q, y, ph   J, a, p, y   S, a   A, a, n, p, q, x, y   Q, n, x, y   F, a, n, p, q, y   P, a, p, q, x, y   R, a, p, q, y   x, F

Allowed substitution hints:   P( n)   Q( q, p, a)   R( x, n)   S( x, y, n, q, p)   J( x, n, q)   K( x, y, q, p, a)

Proof of Theorem ostth3

Dummy variables k b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth3.5	. . . 4 |- R = -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) )
2		ostth.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. A )
3		ostth3.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. Prime )
4		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
6		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. NN /\ 1 < P ) )
7	5, 6	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P e. NN /\ 1 < P ) )
8	7	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. NN )
9		nnq 11801	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. QQ )
11		qabsabv.a	. . . . . . . . . 10 |- A = (AbsVal ` Q )
12		qrng.q	. . . . . . . . . . 11 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
13	12	qrngbas 25308	. . . . . . . . . 10 |- QQ = ( Base ` Q )
14	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ P e. QQ ) -> ( F ` P ) e. RR )
15	2, 10, 14	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` P ) e. RR )
16	8	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P =/= 0 )
17	12	qrng0 25310	. . . . . . . . . 10 |- 0 = ( 0g ` Q )
18	11, 13, 17	abvgt0 18828	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ P e. QQ /\ P =/= 0 ) -> 0 < ( F ` P ) )
19	2, 10, 16, 18	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( F ` P ) )
20	15, 19	elrpd 11869	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` P ) e. RR+ )
21	20	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) e. RR )
22	8	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. RR )
23	7	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < P )
24	22, 23	rplogcld 24375	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` P ) e. RR+ )
25	21, 24	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) e. RR )
26	25	renegcld 10457	. . . 4 |- ( ph -> -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) e. RR )
27	1, 26	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> R e. RR )
28		ostth3.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` P ) < 1 )
29		1rp 11836	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR+
30		logltb 24346	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` P ) e. RR+ /\ 1 e. RR+ ) -> ( ( F ` P ) < 1 <-> ( log ` ( F ` P ) ) < ( log ` 1 ) ) )
31	20, 29, 30	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` P ) < 1 <-> ( log ` ( F ` P ) ) < ( log ` 1 ) ) )
32	28, 31	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) < ( log ` 1 ) )
33		log1 24332	. . . . . . . 8 |- ( log ` 1 ) = 0
34	32, 33	syl6breq 4694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) < 0 )
35	24	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` P ) e. CC )
36	35	mul01d 10235	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` P ) x. 0 ) = 0 )
37	34, 36	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) < ( ( log ` P ) x. 0 ) )
38		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
39	21, 38, 24	ltdivmuld 11923	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) < 0 <-> ( log ` ( F ` P ) ) < ( ( log ` P ) x. 0 ) ) )
40	37, 39	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) < 0 )
41	25	lt0neg1d 10597	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) < 0 <-> 0 < -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) ) )
42	40, 41	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> 0 < -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) )
43	42, 1	syl6breqr 4695	. . 3 |- ( ph -> 0 < R )
44	27, 43	elrpd 11869	. 2 |- ( ph -> R e. RR+ )
45		padic.j	. . . . 5 |- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
46	12, 11, 45	padicabvcxp 25321	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ R e. RR+ ) -> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) e. A )
47	3, 44, 46	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) e. A )
48		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = P -> ( ( J ` P ) ` y ) = ( ( J ` P ) ` P ) )
49	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( y = P -> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) = ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) )
50		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) )
51		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) e. _V
52	49, 50, 51	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( P e. QQ -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) = ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) )
53	10, 52	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) = ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) )
54	45	padicval 25306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ P e. QQ ) -> ( ( J ` P ) ` P ) = if ( P = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) ) )
55	3, 10, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( J ` P ) ` P ) = if ( P = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) ) )
56	16	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. P = 0 )
57	56	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( P = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) ) = ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) )
58	8	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. CC )
59	58	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( P ^ 1 ) = P )
60	59	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P pCnt ( P ^ 1 ) ) = ( P pCnt P ) )
61		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
62		pcid 15577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ 1 e. ZZ ) -> ( P pCnt ( P ^ 1 ) ) = 1 )
63	3, 61, 62	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P pCnt ( P ^ 1 ) ) = 1 )
64	60, 63	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt P ) = 1 )
65	64	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( P pCnt P ) = -u 1 )
66	65	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) = ( P ^ -u 1 ) )
67		neg1z 11413	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. ZZ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u 1 e. ZZ )
69	58, 16, 68	cxpexpzd 24457	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P ^c -u 1 ) = ( P ^ -u 1 ) )
70	66, 69	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P ^ -u ( P pCnt P ) ) = ( P ^c -u 1 ) )
71	55, 57, 70	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( J ` P ) ` P ) = ( P ^c -u 1 ) )
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( J ` P ) ` P ) ^c R ) = ( ( P ^c -u 1 ) ^c R ) )
73	27	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CC )
74	73	mulm1d 10482	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u 1 x. R ) = -u R )
75	1	negeqi 10274	. . . . . . . . . . 11 |- -u R = -u -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) )
76	25	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) e. CC )
77	76	negnegd 10383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u -u ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) = ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) )
78	75, 77	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u R = ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) )
79	74, 78	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u 1 x. R ) = ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) )
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^c ( -u 1 x. R ) ) = ( P ^c ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) ) )
81	8	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. RR+ )
82		neg1rr 11125	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. RR
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
84	81, 83, 73	cxpmuld 24480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^c ( -u 1 x. R ) ) = ( ( P ^c -u 1 ) ^c R ) )
85	58, 16, 76	cxpefd 24458	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P ^c ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) ) = ( exp ` ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) x. ( log ` P ) ) ) )
86	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( log ` ( F ` P ) ) e. CC )
87	24	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( log ` P ) =/= 0 )
88	86, 35, 87	divcan1d 10802	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) x. ( log ` P ) ) = ( log ` ( F ` P ) ) )
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) x. ( log ` P ) ) ) = ( exp ` ( log ` ( F ` P ) ) ) )
90	20	reeflogd 24370	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` P ) ) ) = ( F ` P ) )
91	85, 89, 90	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^c ( ( log ` ( F ` P ) ) / ( log ` P ) ) ) = ( F ` P ) )
92	80, 84, 91	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P ^c -u 1 ) ^c R ) = ( F ` P ) )
93	53, 72, 92	3eqtrrd 2661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) )
94		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( P = p -> ( F ` P ) = ( F ` p ) )
95		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( P = p -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) )
96	94, 95	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( P = p -> ( ( F ` P ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` P ) <-> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) ) )
97	93, 96	syl5ibcom 235	. . . . 5 |- ( ph -> ( P = p -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) ) )
98	97	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( P = p -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) ) )
99		prmnn 15388	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
100	99	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> p e. NN )
101		nnq 11801	. . . . . . . 8 |- ( p e. NN -> p e. QQ )
102	100, 101	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> p e. QQ )
103		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = p -> ( ( J ` P ) ` y ) = ( ( J ` P ) ` p ) )
104	103	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( y = p -> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) = ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) )
105		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) e. _V
106	104, 50, 105	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( p e. QQ -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) = ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) )
107	102, 106	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) = ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) )
108	73	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> R e. CC )
109	108	1cxpd 24453	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( 1 ^c R ) = 1 )
110	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> P e. Prime )
111	45	padicval 25306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ p e. QQ ) -> ( ( J ` P ) ` p ) = if ( p = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) ) )
112	110, 102, 111	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( J ` P ) ` p ) = if ( p = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) ) )
113	100	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> p =/= 0 )
114	113	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -. p = 0 )
115	114	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> if ( p = 0 , 0 , ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) ) = ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) )
116		pceq0 15575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. Prime /\ p e. NN ) -> ( ( P pCnt p ) = 0 <-> -. P || p ) )
117	3, 99, 116	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( P pCnt p ) = 0 <-> -. P || p ) )
118		dvdsprm 15415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ p e. Prime ) -> ( P || p <-> P = p ) )
119	5, 118	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( P || p <-> P = p ) )
120	119	necon3bbid 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( -. P || p <-> P =/= p ) )
121	117, 120	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( P pCnt p ) = 0 <-> P =/= p ) )
122	121	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( P pCnt p ) = 0 )
123	122	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -u ( P pCnt p ) = -u 0 )
124		neg0 10327	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 0 = 0
125	123, 124	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -u ( P pCnt p ) = 0 )
126	125	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) = ( P ^ 0 ) )
127	58	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> P e. CC )
128	127	exp0d 13002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
129	126, 128	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( P ^ -u ( P pCnt p ) ) = 1 )
130	112, 115, 129	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( J ` P ) ` p ) = 1 )
131	130	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) = ( 1 ^c R ) )
132		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> 2 e. RR )
134		ostth3.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) )
135	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> F e. A )
136	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. A /\ p e. QQ ) -> ( F ` p ) e. RR )
137	135, 102, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( F ` p ) e. RR )
138	11, 13, 17	abvgt0 18828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. A /\ p e. QQ /\ p =/= 0 ) -> 0 < ( F ` p ) )
139	135, 102, 113, 138	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> 0 < ( F ` p ) )
140	137, 139	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( F ` p ) e. RR+ )
141	140	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F ` p ) e. RR+ )
142	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F ` P ) e. RR+ )
143	141, 142	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) e. RR+ )
144	134, 143	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S e. RR+ )
145	144	rprecred 11883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( 1 / S ) e. RR )
146		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F ` p ) < 1 )
147	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F ` P ) < 1 )
148		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` p ) = if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) -> ( ( F ` p ) < 1 <-> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) < 1 ) )
149		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` P ) = if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) -> ( ( F ` P ) < 1 <-> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) < 1 ) )
150	148, 149	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` p ) < 1 /\ ( F ` P ) < 1 ) -> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) < 1 )
151	146, 147, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) < 1 )
152	134, 151	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S < 1 )
153	144	reclt1d 11885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( S < 1 <-> 1 < ( 1 / S ) ) )
154	152, 153	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> 1 < ( 1 / S ) )
155		expnbnd 12993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ ( 1 / S ) e. RR /\ 1 < ( 1 / S ) ) -> E. k e. NN 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) )
156	133, 145, 154, 155	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> E. k e. NN 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) )
157	144	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S e. CC )
158	157	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> S e. CC )
159	144	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S =/= 0 )
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> S =/= 0 )
161		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
162	161	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
163	158, 160, 162	exprecd 13016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / S ) ^ k ) = ( 1 / ( S ^ k ) ) )
164	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> F e. A )
165		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 =/= 0
166	12	qrng1 25311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 = ( 1r ` Q )
167	11, 166, 17	abv1z 18832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. A /\ 1 =/= 0 ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
168	164, 165, 167	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
169	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> P e. NN )
170		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
171		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( P ^ k ) e. NN )
172	169, 170, 171	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( P ^ k ) e. NN )
173	172	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( P ^ k ) e. ZZ )
174	99	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> p e. NN )
175		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( p ^ k ) e. NN )
176	174, 170, 175	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) e. NN )
177	176	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) e. ZZ )
178		bezout 15260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P ^ k ) e. ZZ /\ ( p ^ k ) e. ZZ ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) )
179	173, 177, 178	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) )
180		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> P =/= p )
181	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> P e. Prime )
182		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> p e. Prime )
183		prmrp 15424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P e. Prime /\ p e. Prime ) -> ( ( P gcd p ) = 1 <-> P =/= p ) )
184	181, 182, 183	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( ( P gcd p ) = 1 <-> P =/= p ) )
185	180, 184	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( P gcd p ) = 1 )
186	185	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( P gcd p ) = 1 )
187	169	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> P e. NN )
188	174	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> p e. NN )
189		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
190		rppwr 15277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN /\ p e. NN /\ k e. NN ) -> ( ( P gcd p ) = 1 -> ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = 1 ) )
191	187, 188, 189, 190	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( P gcd p ) = 1 -> ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = 1 ) )
192	186, 191	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = 1 )
193	192	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = 1 )
194	193	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) <-> 1 = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) )
195	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> F e. A )
196	172	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( P ^ k ) e. NN )
197		nnq 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P ^ k ) e. NN -> ( P ^ k ) e. QQ )
198	196, 197	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( P ^ k ) e. QQ )
199		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> a e. ZZ )
200		zq 11794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( a e. ZZ -> a e. QQ )
201	199, 200	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> a e. QQ )
202		qmulcl 11806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( P ^ k ) e. QQ /\ a e. QQ ) -> ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ )
203	198, 201, 202	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ )
204	176	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( p ^ k ) e. NN )
205		nnq 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( p ^ k ) e. NN -> ( p ^ k ) e. QQ )
206	204, 205	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( p ^ k ) e. QQ )
207		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> b e. ZZ )
208		zq 11794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( b e. ZZ -> b e. QQ )
209	207, 208	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> b e. QQ )
210		qmulcl 11806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( p ^ k ) e. QQ /\ b e. QQ ) -> ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ )
211	206, 209, 210	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ )
212		qaddcl 11804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ /\ ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ ) -> ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. QQ )
213	203, 211, 212	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. QQ )
214	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F e. A /\ ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. QQ ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) e. RR )
215	195, 213, 214	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) e. RR )
216	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F e. A /\ ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) e. RR )
217	195, 203, 216	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) e. RR )
218	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F e. A /\ ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. RR )
219	195, 211, 218	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) e. RR )
220	217, 219	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) e. RR )
221		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( S e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( S ^ k ) e. RR+ )
222	144, 161, 221	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( S ^ k ) e. RR+ )
223	222	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( S ^ k ) e. RR )
224	223	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( S ^ k ) e. RR )
225		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 2 e. RR /\ ( S ^ k ) e. RR ) -> ( 2 x. ( S ^ k ) ) e. RR )
226	132, 224, 225	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( 2 x. ( S ^ k ) ) e. RR )
227		qex 11800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- QQ e. _V
228		cnfldadd 19751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- + = ( +g ` ℂfld )
229	12, 228	ressplusg 15993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( QQ e. _V -> + = ( +g ` Q ) )
230	227, 229	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- + = ( +g ` Q )
231	11, 13, 230	abvtri 18830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F e. A /\ ( ( P ^ k ) x. a ) e. QQ /\ ( ( p ^ k ) x. b ) e. QQ ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) )
232	195, 203, 211, 231	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) )
233		cnfldmul 19752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- x. = ( .r ` ℂfld )
234	12, 233	ressmulr 16006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( QQ e. _V -> x. = ( .r ` Q ) )
235	227, 234	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- x. = ( .r ` Q )
236	11, 13, 235	abvmul 18829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( F e. A /\ ( P ^ k ) e. QQ /\ a e. QQ ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) = ( ( F ` ( P ^ k ) ) x. ( F ` a ) ) )
237	195, 198, 201, 236	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) = ( ( F ` ( P ^ k ) ) x. ( F ` a ) ) )
238	10	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> P e. QQ )
239	170	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> k e. NN0 )
240	12, 11	qabvexp 25315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( F e. A /\ P e. QQ /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( P ^ k ) ) = ( ( F ` P ) ^ k ) )
241	195, 238, 239, 240	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( P ^ k ) ) = ( ( F ` P ) ^ k ) )
242	241	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( P ^ k ) ) x. ( F ` a ) ) = ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) )
243	237, 242	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) = ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) )
244	195, 238, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` P ) e. RR )
245	244, 239	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` P ) ^ k ) e. RR )
246	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( F e. A /\ a e. QQ ) -> ( F ` a ) e. RR )
247	195, 201, 246	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
248	245, 247	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) e. RR )
249		elz 11379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( a e. ZZ <-> ( a e. RR /\ ( a = 0 \/ a e. NN \/ -u a e. NN ) ) )
250	249	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( a e. ZZ -> ( a = 0 \/ a e. NN \/ -u a e. NN ) )
251	250	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( a = 0 \/ a e. NN \/ -u a e. NN ) )
252	11, 17	abv0 18831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( F e. A -> ( F ` 0 ) = 0 )
253	2, 252	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = 0 )
254		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- 0 <_ 1
255	253, 254	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ph -> ( F ` 0 ) <_ 1 )
256	255	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` 0 ) <_ 1 )
257		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( a = 0 -> ( F ` a ) = ( F ` 0 ) )
258	257	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( a = 0 -> ( ( F ` a ) <_ 1 <-> ( F ` 0 ) <_ 1 ) )
259	256, 258	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( a = 0 -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
260		ostth3.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
261		nnq 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( n e. NN -> n e. QQ )
262	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ ) -> ( F ` n ) e. RR )
263	2, 261, 262	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
264		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- 1 e. RR
265		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( F ` n ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( F ` n ) <_ 1 <-> -. 1 < ( F ` n ) ) )
266	263, 264, 265	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) <_ 1 <-> -. 1 < ( F ` n ) ) )
267	266	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ph -> ( A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 <-> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) )
268	260, 267	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 )
269		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( n = a -> ( F ` n ) = ( F ` a ) )
270	269	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( n = a -> ( ( F ` n ) <_ 1 <-> ( F ` a ) <_ 1 ) )
271	270	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 -> ( a e. NN -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
272	268, 271	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ph -> ( a e. NN -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
273	272	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( a e. NN -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
274	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> F e. A )
275	200	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> a e. QQ )
276		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( invg ` Q ) = ( invg ` Q )
277	11, 13, 276	abvneg 18834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( F e. A /\ a e. QQ ) -> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) = ( F ` a ) )
278	274, 275, 277	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) = ( F ` a ) )
279	12	qrngneg 25312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( a e. QQ -> ( ( invg ` Q ) ` a ) = -u a )
280	275, 279	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( ( invg ` Q ) ` a ) = -u a )
281		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> -u a e. NN )
282	280, 281	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( ( invg ` Q ) ` a ) e. NN )
283	268	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 )
284		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( n = ( ( invg ` Q ) ` a ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) )
285	284	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( n = ( ( invg ` Q ) ` a ) -> ( ( F ` n ) <_ 1 <-> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) <_ 1 ) )
286	285	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( invg ` Q ) ` a ) e. NN -> ( A. n e. NN ( F ` n ) <_ 1 -> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) <_ 1 ) )
287	282, 283, 286	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( F ` ( ( invg ` Q ) ` a ) ) <_ 1 )
288	278, 287	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ -u a e. NN ) ) -> ( F ` a ) <_ 1 )
289	288	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( -u a e. NN -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
290	259, 273, 289	3jaod 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( ( a = 0 \/ a e. NN \/ -u a e. NN ) -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
291	251, 290	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` a ) <_ 1 )
292	291	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> A. a e. ZZ ( F ` a ) <_ 1 )
293	292	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> A. a e. ZZ ( F ` a ) <_ 1 )
294		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( A. a e. ZZ ( F ` a ) <_ 1 -> ( a e. ZZ -> ( F ` a ) <_ 1 ) )
295	293, 199, 294	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` a ) <_ 1 )
296	264	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 1 e. RR )
297	161	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> k e. ZZ )
298	19	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 < ( F ` P ) )
299		expgt0 12893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( F ` P ) e. RR /\ k e. ZZ /\ 0 < ( F ` P ) ) -> 0 < ( ( F ` P ) ^ k ) )
300	244, 297, 298, 299	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 < ( ( F ` P ) ^ k ) )
301		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( F ` a ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( ( F ` P ) ^ k ) e. RR /\ 0 < ( ( F ` P ) ^ k ) ) ) -> ( ( F ` a ) <_ 1 <-> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. 1 ) ) )
302	247, 296, 245, 300, 301	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` a ) <_ 1 <-> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. 1 ) ) )
303	295, 302	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. 1 ) )
304	245	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` P ) ^ k ) e. CC )
305	304	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. 1 ) = ( ( F ` P ) ^ k ) )
306	303, 305	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( ( F ` P ) ^ k ) )
307	144	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> S e. RR )
308	307	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> S e. RR )
309	142	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` P ) e. RR+ )
310	309	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 <_ ( F ` P ) )
311	174	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> p e. NN )
312	311, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> p e. QQ )
313	195, 312, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` p ) e. RR )
314		max1 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( F ` P ) e. RR /\ ( F ` p ) e. RR ) -> ( F ` P ) <_ if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) )
315	244, 313, 314	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` P ) <_ if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) )
316	315, 134	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` P ) <_ S )
317		leexp1a 12919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( F ` P ) e. RR /\ S e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( F ` P ) /\ ( F ` P ) <_ S ) ) -> ( ( F ` P ) ^ k ) <_ ( S ^ k ) )
318	244, 308, 239, 310, 316, 317	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` P ) ^ k ) <_ ( S ^ k ) )
319	248, 245, 224, 306, 318	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` P ) ^ k ) x. ( F ` a ) ) <_ ( S ^ k ) )
320	243, 319	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) <_ ( S ^ k ) )
321	11, 13, 235	abvmul 18829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( F e. A /\ ( p ^ k ) e. QQ /\ b e. QQ ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) = ( ( F ` ( p ^ k ) ) x. ( F ` b ) ) )
322	195, 206, 209, 321	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) = ( ( F ` ( p ^ k ) ) x. ( F ` b ) ) )
323	12, 11	qabvexp 25315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( F e. A /\ p e. QQ /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( p ^ k ) ) = ( ( F ` p ) ^ k ) )
324	195, 312, 239, 323	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( p ^ k ) ) = ( ( F ` p ) ^ k ) )
325	324	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( p ^ k ) ) x. ( F ` b ) ) = ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) )
326	322, 325	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) = ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) )
327	313, 239	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` p ) ^ k ) e. RR )
328	11, 13	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( F e. A /\ b e. QQ ) -> ( F ` b ) e. RR )
329	195, 209, 328	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
330	327, 329	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) e. RR )
331		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( a = b -> ( F ` a ) = ( F ` b ) )
332	331	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( a = b -> ( ( F ` a ) <_ 1 <-> ( F ` b ) <_ 1 ) )
333	332	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( b e. ZZ -> ( A. a e. ZZ ( F ` a ) <_ 1 -> ( F ` b ) <_ 1 ) )
334	207, 293, 333	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` b ) <_ 1 )
335	311	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> p =/= 0 )
336	195, 312, 335, 138	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 < ( F ` p ) )
337		expgt0 12893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( F ` p ) e. RR /\ k e. ZZ /\ 0 < ( F ` p ) ) -> 0 < ( ( F ` p ) ^ k ) )
338	313, 297, 336, 337	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 < ( ( F ` p ) ^ k ) )
339		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( F ` b ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( ( F ` p ) ^ k ) e. RR /\ 0 < ( ( F ` p ) ^ k ) ) ) -> ( ( F ` b ) <_ 1 <-> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. 1 ) ) )
340	329, 296, 327, 338, 339	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` b ) <_ 1 <-> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. 1 ) ) )
341	334, 340	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. 1 ) )
342	327	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` p ) ^ k ) e. CC )
343	342	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. 1 ) = ( ( F ` p ) ^ k ) )
344	341, 343	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( ( F ` p ) ^ k ) )
345	141	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` p ) e. RR+ )
346	345	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> 0 <_ ( F ` p ) )
347		max2 12018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( F ` P ) e. RR /\ ( F ` p ) e. RR ) -> ( F ` p ) <_ if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) )
348	244, 313, 347	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` p ) <_ if ( ( F ` P ) <_ ( F ` p ) , ( F ` p ) , ( F ` P ) ) )
349	348, 134	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` p ) <_ S )
350		leexp1a 12919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( F ` p ) e. RR /\ S e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( F ` p ) /\ ( F ` p ) <_ S ) ) -> ( ( F ` p ) ^ k ) <_ ( S ^ k ) )
351	313, 308, 239, 346, 349, 350	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` p ) ^ k ) <_ ( S ^ k ) )
352	330, 327, 224, 344, 351	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( F ` p ) ^ k ) x. ( F ` b ) ) <_ ( S ^ k ) )
353	326, 352	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) <_ ( S ^ k ) )
354	217, 219, 224, 224, 320, 353	le2addd 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( ( S ^ k ) + ( S ^ k ) ) )
355	222	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( S ^ k ) e. CC )
356	355	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( 2 x. ( S ^ k ) ) = ( ( S ^ k ) + ( S ^ k ) ) )
357	356	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( 2 x. ( S ^ k ) ) = ( ( S ^ k ) + ( S ^ k ) ) )
358	354, 357	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( F ` ( ( P ^ k ) x. a ) ) + ( F ` ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) )
359	215, 220, 226, 232, 358	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) )
360		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) = ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) )
361	360	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) <-> ( F ` ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
362	359, 361	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( 1 = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
363	194, 362	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ ( k e. NN /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
364	363	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
365	364	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( ( P ^ k ) gcd ( p ^ k ) ) = ( ( ( P ^ k ) x. a ) + ( ( p ^ k ) x. b ) ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
366	179, 365	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( F ` 1 ) <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) )
367	168, 366	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> 1 <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) )
368	222	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( S ^ k ) e. RR /\ 0 < ( S ^ k ) ) )
369		ledivmul2 10902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ ( ( S ^ k ) e. RR /\ 0 < ( S ^ k ) ) ) -> ( ( 1 / ( S ^ k ) ) <_ 2 <-> 1 <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
370	264, 132, 369	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S ^ k ) e. RR /\ 0 < ( S ^ k ) ) -> ( ( 1 / ( S ^ k ) ) <_ 2 <-> 1 <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
371	368, 370	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( S ^ k ) ) <_ 2 <-> 1 <_ ( 2 x. ( S ^ k ) ) ) )
372	367, 371	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( S ^ k ) ) <_ 2 )
373	163, 372	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / S ) ^ k ) <_ 2 )
374		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 / S ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / S ) ^ k ) e. RR )
375	145, 170, 374	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / S ) ^ k ) e. RR )
376		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( 1 / S ) ^ k ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( 1 / S ) ^ k ) <_ 2 <-> -. 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) ) )
377	375, 132, 376	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / S ) ^ k ) <_ 2 <-> -. 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) ) )
378	373, 377	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> -. 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) )
379	378	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) -> -. ( F ` p ) < 1 ) )
380	379	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( E. k e. NN 2 < ( ( 1 / S ) ^ k ) -> -. ( F ` p ) < 1 ) )
381	156, 380	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ ( P =/= p /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> -. ( F ` p ) < 1 )
382	381	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( F ` p ) < 1 -> -. ( F ` p ) < 1 ) )
383	382	pm2.01d 181	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -. ( F ` p ) < 1 )
384	260	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
385		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( F ` n ) = ( F ` p ) )
386	385	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = p -> ( 1 < ( F ` n ) <-> 1 < ( F ` p ) ) )
387	386	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( n = p -> ( -. 1 < ( F ` n ) <-> -. 1 < ( F ` p ) ) )
388	387	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( p e. NN -> ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) -> -. 1 < ( F ` p ) ) )
389	100, 384, 388	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> -. 1 < ( F ` p ) )
390		lttri3 10121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` p ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( F ` p ) = 1 <-> ( -. ( F ` p ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` p ) ) ) )
391	137, 264, 390	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( F ` p ) = 1 <-> ( -. ( F ` p ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` p ) ) ) )
392	383, 389, 391	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( F ` p ) = 1 )
393	109, 131, 392	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( ( ( J ` P ) ` p ) ^c R ) = ( F ` p ) )
394	107, 393	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ P =/= p ) -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) )
395	394	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( P =/= p -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) ) )
396	98, 395	pm2.61dne 2880	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( F ` p ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ` p ) )
397	12, 11, 2, 47, 396	ostthlem2 25317	. 2 |- ( ph -> F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) )
398		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( a = R -> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) = ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) )
399	398	mpteq2dv 4745	. . . 4 |- ( a = R -> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) )
400	399	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( a = R -> ( F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) <-> F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ) )
401	400	rspcev 3309	. 2 |- ( ( R e. RR+ /\ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c R ) ) ) -> E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) )
402	44, 397, 401	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` P ) ` y ) ^c a ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   QQcq 11788   RR+crp 11832   ^cexp 12860   expce 14792   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   invgcminusg 17423  AbsValcabv 18816  ℂ_fldccnfld 19746   logclog 24301   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  ostth  25328