Theorem blocn2 27663

Description: A bounded linear operator is continuous. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocn.8	|- C = ( IndMet ` U )
blocn.d	|- D = ( IndMet ` W )
blocn.j	|- J = ( MetOpen ` C )
blocn.k	|- K = ( MetOpen ` D )
blocn.5	|- B = ( U BLnOp W )
blocn.u	|- U e. NrmCVec
blocn.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
blocn2	|- ( T e. B -> T e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem blocn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blocn.u	. . 3 |- U e. NrmCVec
2		blocn.w	. . 3 |- W e. NrmCVec
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( U LnOp W ) = ( U LnOp W )
4		blocn.5	. . . 4 |- B = ( U BLnOp W )
5	3, 4	bloln 27639	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B ) -> T e. ( U LnOp W ) )
6	1, 2, 5	mp3an12 1414	. 2 |- ( T e. B -> T e. ( U LnOp W ) )
7		blocn.8	. . . 4 |- C = ( IndMet ` U )
8		blocn.d	. . . 4 |- D = ( IndMet ` W )
9		blocn.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
10		blocn.k	. . . 4 |- K = ( MetOpen ` D )
11	7, 8, 9, 10, 4, 1, 2, 3	blocn 27662	. . 3 |- ( T e. ( U LnOp W ) -> ( T e. ( J Cn K ) <-> T e. B ) )
12	11	biimprd 238	. 2 |- ( T e. ( U LnOp W ) -> ( T e. B -> T e. ( J Cn K ) ) )
13	6, 12	mpcom 38	1 |- ( T e. B -> T e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   MetOpencmopn 19736   Cn ccn 21028   NrmCVeccnv 27439   IndMetcims 27446   LnOp clno 27595   BLnOp cblo 27597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-lno 27599  df-nmoo 27600  df-blo 27601  df-0o 27602

This theorem is referenced by:  ubthlem1  27726  ubthlem2  27727