Theorem axlowdimlem8 25829

Description: Lemma for axlowdim 25841. Calculate the value of P at three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem7.1	|- P = ( { <. 3 , -u 1 >. } u. ( ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) X. { 0 } ) )

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem8	|- ( P ` 3 ) = -u 1

Proof of Theorem axlowdimlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem7.1	. . 3 |- P = ( { <. 3 , -u 1 >. } u. ( ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) X. { 0 } ) )
2	1	fveq1i 6192	. 2 |- ( P ` 3 ) = ( ( { <. 3 , -u 1 >. } u. ( ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) X. { 0 } ) ) ` 3 )
3		3re 11094	. . . . 5 |- 3 e. RR
4	3	elexi 3213	. . . 4 |- 3 e. _V
5		negex 10279	. . . 4 |- -u 1 e. _V
6	4, 5	fnsn 5946	. . 3 |- { <. 3 , -u 1 >. } Fn { 3 }
7		c0ex 10034	. . . . 5 |- 0 e. _V
8	7	fconst 6091	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) X. { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) --> { 0 }
9		ffn 6045	. . . 4 |- ( ( ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) X. { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) --> { 0 } -> ( ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) X. { 0 } ) Fn ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) X. { 0 } ) Fn ( ( 1 ... N ) \ { 3 } )
11		disjdif 4040	. . . 4 |- ( { 3 } i^i ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) ) = (/)
12	4	snid 4208	. . . 4 |- 3 e. { 3 }
13	11, 12	pm3.2i 471	. . 3 |- ( ( { 3 } i^i ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) ) = (/) /\ 3 e. { 3 } )
14		fvun1 6269	. . 3 |- ( ( { <. 3 , -u 1 >. } Fn { 3 } /\ ( ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) X. { 0 } ) Fn ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) /\ ( ( { 3 } i^i ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) ) = (/) /\ 3 e. { 3 } ) ) -> ( ( { <. 3 , -u 1 >. } u. ( ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) X. { 0 } ) ) ` 3 ) = ( { <. 3 , -u 1 >. } ` 3 ) )
15	6, 10, 13, 14	mp3an 1424	. 2 |- ( ( { <. 3 , -u 1 >. } u. ( ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) X. { 0 } ) ) ` 3 ) = ( { <. 3 , -u 1 >. } ` 3 )
16	4, 5	fvsn 6446	. 2 |- ( { <. 3 , -u 1 >. } ` 3 ) = -u 1
17	2, 15, 16	3eqtri 2648	1 |- ( P ` 3 ) = -u 1

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   -ucneg 10267   3c3 11071   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-neg 10269  df-2 11079  df-3 11080

This theorem is referenced by:  axlowdimlem16  25837