Theorem fvsn 6446

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsn.1	|- A e. _V
fvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvsn	|- ( { <. A , B >. } ` A ) = B

Proof of Theorem fvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsn.1	. . 3 |- A e. _V
2		fvsn.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	funsn 5939	. 2 |- Fun { <. A , B >. }
4		opex 4932	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5	4	snid 4208	. 2 |- <. A , B >. e. { <. A , B >. }
6		funopfv 6235	. 2 |- ( Fun { <. A , B >. } -> ( <. A , B >. e. { <. A , B >. } -> ( { <. A , B >. } ` A ) = B ) )
7	3, 5, 6	mp2 9	1 |- ( { <. A , B >. } ` A ) = B

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   Fun wfun 5882   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  fvsng  6447  fvsnun1  6448  fvpr1  6456  elixpsn  7947  mapsnen  8035  ac6sfi  8204  dcomex  9269  axdc3lem4  9275  0ram  15724  mdet0fv0  20400  chpmat0d  20639  imasdsf1olem  22178  axlowdimlem8  25829  axlowdimlem11  25832  subfacp1lem2a  31162  subfacp1lem5  31166  cvmliftlem4  31270  finixpnum  33394  poimirlem3  33412  fdc  33541  grposnOLD  33681