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Theorem axlowdim 25841

Description: The general lower dimension axiom. Take a dimension

greater than or equal to three. Then, there are three non-colinear points in

dimensional space that are equidistant from

distinct points. Derived from remarks in Tarski's System of Geometry, Alfred Tarski and Steven Givant, Bulletin of Symbolic Logic, Volume 5, Number 2 (1999), 175-214. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
axlowdim	$/\$ Cgr $/\$ Cgr $/\$ Cgr $/\$ $\/$ $\/$

Distinct variable group:

Proof of Theorem axlowdim Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 11729	. . . 4
2		0re 10040	. . . . 5
3	2, 2	axlowdimlem5 25826	. . . 4
4	1, 3	syl 17	. . 3
5		1re 10039	. . . . 5
6	5, 2	axlowdimlem5 25826	. . . 4
7	1, 6	syl 17	. . 3
8	2, 5	axlowdimlem5 25826	. . . 4
9	1, 8	syl 17	. . 3
10		eqid 2622	. . . 4 $\$ $\$ $\$ $\$
11	10	axlowdimlem15 25836	. . 3 $\$ $\$
12		eqid 2622	. . . . . 6 $\$ $\$
13		eqid 2622	. . . . . 6 $\$ $\$
14		eqid 2622	. . . . . 6
15	12, 13, 14, 2, 2	axlowdimlem17 25838	. . . . 5 $/\$ $\$ Cgr $\$
16		eqid 2622	. . . . . 6
17	12, 13, 16, 5, 2	axlowdimlem17 25838	. . . . 5 $/\$ $\$ Cgr $\$
18		eqid 2622	. . . . . 6
19	12, 13, 18, 2, 5	axlowdimlem17 25838	. . . . 5 $/\$ $\$ Cgr $\$
20		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
21		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	21	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
23		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
25		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
26		2lt3 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
27	24, 25, 26	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
28		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
30	24, 25, 29	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
32	27, 31	mpani 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33	32	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
34	33	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
35	28	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
36		lesub1 10522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
37	24, 5, 36	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
38	35, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
39	34, 38	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
40	23, 39	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41	20, 22, 40	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
43		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
44	41, 42, 43	3imtr4i 281	. . . . . . . . . . . 12
45		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . 12
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
48		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12
49		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	49	opeq1d 4408	. . . . . . . . . . . . . 14
51	50	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . 13
52	49	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . . 15
53	52	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
54	53	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
55	51, 54	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
56	48, 55	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$ $\$ $\$
57		snex 4908	. . . . . . . . . . . . 13
58		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15
59		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
61		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . 14
62	60, 61	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
63	57, 62	unex 6956	. . . . . . . . . . . 12 $\$
64		snex 4908	. . . . . . . . . . . . 13
65		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
66	58, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
67	66, 61	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
68	64, 67	unex 6956	. . . . . . . . . . . 12 $\$
69	63, 68	ifex 4156	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
70	56, 10, 69	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$ $\$ $\$
71	47, 70	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
72		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
73	72	iftruei 4093	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$
74	71, 73	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$ $\$
75	74	opeq1d 4408	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$ $\$
76		2eluzge1 11734	. . . . . . . . . . . . 13
77		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
79	78	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$
81		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12
82		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
83	82	opeq1d 4408	. . . . . . . . . . . . . 14
84	83	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . 13
85	82	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . . 15
86	85	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
87	86	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
88	84, 87	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
89	81, 88	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$ $\$ $\$
90		snex 4908	. . . . . . . . . . . . 13
91		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
92	58, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
93	92, 61	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
94	90, 93	unex 6956	. . . . . . . . . . . 12 $\$
95	63, 94	ifex 4156	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
96	89, 10, 95	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$ $\$ $\$
97	80, 96	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
98		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . 16
99	5, 24	ltnlei 10158	. . . . . . . . . . . . . . . 16
100	98, 99	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15
101	100	intnanr 961	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
102		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16
103	102, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
104		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
107	104, 105, 106	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	103, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
109	101, 108	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . 13
110		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14
111	110	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13
112	109, 111	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12
113	112	con2d 129	. . . . . . . . . . 11
114	113	imp 445	. . . . . . . . . 10 $/\$
115	114	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$ $\$
116	97, 115	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$ $\$
117	116	opeq1d 4408	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$ $\$
118	75, 117	breq12d 4666	. . . . . 6 $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $\$ Cgr $\$
119	74	opeq1d 4408	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$ $\$
120	116	opeq1d 4408	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$ $\$
121	119, 120	breq12d 4666	. . . . . 6 $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $\$ Cgr $\$
122	46, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$ $\$ $\$
123	122, 73	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$
124	123	opeq1d 4408	. . . . . . . 8 $\$ $\$ $\$
125	124	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$ $\$
126	116	opeq1d 4408	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$ $\$
127	125, 126	breq12d 4666	. . . . . 6 $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $\$ Cgr $\$
128	118, 121, 127	3anbi123d 1399	. . . . 5 $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $/\$ $\$ Cgr $\$ $/\$ $\$ Cgr $\$
129	15, 17, 19, 128	mpbir3and 1245	. . . 4 $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
130	129	ralrimiva 2966	. . 3 $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
131	14, 16, 18	axlowdimlem6 25827	. . . 4 $\/$ $\/$
132	1, 131	syl 17	. . 3 $\/$ $\/$
133		opeq2 4403	. . . . . . . 8 $\$ $\$ $\$ $\$
134		opeq2 4403	. . . . . . . 8 $\$ $\$ $\$ $\$
135	133, 134	breq12d 4666	. . . . . . 7 $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
136	135	3anbi1d 1403	. . . . . 6 $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
137	136	ralbidv 2986	. . . . 5 $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
138		breq1 4656	. . . . . . 7
139		opeq2 4403	. . . . . . . 8
140	139	breq2d 4665	. . . . . . 7
141		opeq1 4402	. . . . . . . 8
142	141	breq2d 4665	. . . . . . 7
143	138, 140, 142	3orbi123d 1398	. . . . . 6 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
144	143	notbid 308	. . . . 5 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
145	137, 144	3anbi23d 1402	. . . 4 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$
146		opeq2 4403	. . . . . . . 8 $\$ $\$ $\$ $\$
147		opeq2 4403	. . . . . . . 8 $\$ $\$ $\$ $\$
148	146, 147	breq12d 4666	. . . . . . 7 $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
149	148	3anbi2d 1404	. . . . . 6 $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
150	149	ralbidv 2986	. . . . 5 $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
151		opeq1 4402	. . . . . . . 8
152	151	breq2d 4665	. . . . . . 7
153		breq1 4656	. . . . . . 7
154		opeq2 4403	. . . . . . . 8
155	154	breq2d 4665	. . . . . . 7
156	152, 153, 155	3orbi123d 1398	. . . . . 6 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
157	156	notbid 308	. . . . 5 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
158	150, 157	3anbi23d 1402	. . . 4 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$
159		opeq2 4403	. . . . . . . 8 $\$ $\$ $\$ $\$
160		opeq2 4403	. . . . . . . 8 $\$ $\$ $\$ $\$
161	159, 160	breq12d 4666	. . . . . . 7 $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
162	161	3anbi3d 1405	. . . . . 6 $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
163	162	ralbidv 2986	. . . . 5 $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
164		opeq2 4403	. . . . . . . 8
165	164	breq2d 4665	. . . . . . 7
166		opeq1 4402	. . . . . . . 8
167	166	breq2d 4665	. . . . . . 7
168		breq1 4656	. . . . . . 7
169	165, 167, 168	3orbi123d 1398	. . . . . 6 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
170	169	notbid 308	. . . . 5 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
171	163, 170	3anbi23d 1402	. . . 4 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$
172	145, 158, 171	rspc3ev 3326	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$
173	4, 7, 9, 11, 130, 132, 172	syl33anc 1341	. 2 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$
174		ovex 6678	. . . 4
175	174	mptex 6486	. . 3 $\$ $\$
176		f1eq1 6096	. . . . . 6 $\$ $\$ $\$ $\$
177		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$ $\$ $\$
178	177	opeq1d 4408	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$ $\$
179		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$ $\$ $\$
180	179	opeq1d 4408	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$ $\$
181	178, 180	breq12d 4666	. . . . . . . 8 $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
182	177	opeq1d 4408	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$ $\$
183	179	opeq1d 4408	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$ $\$
184	182, 183	breq12d 4666	. . . . . . . 8 $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
185	177	opeq1d 4408	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$ $\$
186	179	opeq1d 4408	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$ $\$
187	185, 186	breq12d 4666	. . . . . . . 8 $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
188	181, 184, 187	3anbi123d 1399	. . . . . . 7 $\$ $\$ Cgr $/\$ Cgr $/\$ Cgr $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
189	188	ralbidv 2986	. . . . . 6 $\$ $\$ Cgr $/\$ Cgr $/\$ Cgr $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$
190	176, 189	3anbi12d 1400	. . . . 5 $\$ $\$ $/\$ Cgr $/\$ Cgr $/\$ Cgr $/\$ $\/$ $\/$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$
191	190	rexbidv 3052	. . . 4 $\$ $\$ $/\$ Cgr $/\$ Cgr $/\$ Cgr $/\$ $\/$ $\/$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$
192	191	2rexbidv 3057	. . 3 $\$ $\$ $/\$ Cgr $/\$ Cgr $/\$ Cgr $/\$ $\/$ $\/$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$
193	175, 192	spcev 3300	. 2 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ Cgr $\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ Cgr $/\$ Cgr $/\$ Cgr $/\$ $\/$ $\/$
194	173, 193	syl 17	1 $/\$ Cgr $/\$ Cgr $/\$ Cgr $/\$ $\/$ $\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cun 3572

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cif 4086

csn 4177

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cop 4183 class class class wbr 4653

cmpt 4729

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wf1 5885

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

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clt 10074

cle 10075

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cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cee 25768

cbtwn 25769 Cgrccgr 25770

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-ee 25771 df-btwn 25772 df-cgr 25773

This theorem is referenced by: (None)

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