axlowdimlem16 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axlowdimlem16		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem axlowdimlem16 25837

Description: Lemma for axlowdim 25841. Set up a summation that will help establish distance. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
axlowdimlem16.1	$\$
axlowdimlem16.2	$\$

**Assertion**
Ref	Expression
axlowdimlem16	$/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem axlowdimlem16**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 12352	. . . . . 6
2		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
3		df-3 11080	. . . . . . . . . . 11
4	2, 3	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . 10
5	4, 4	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
6	5	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8
7	2, 3	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10
8		3z 11410	. . . . . . . . . 10
9	7, 8	syl6eqel 2709	. . . . . . . . 9
10		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10
11	10	sqcli 12944	. . . . . . . . 9
12		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
13		axlowdimlem16.2	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
14	13	axlowdimlem11 25832	. . . . . . . . . . . 12
15	12, 14	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11
16	15	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
17	16	fsum1 14476	. . . . . . . . 9 $/\$
18	9, 11, 17	sylancl 694	. . . . . . . 8
19	6, 18	eqtrd 2656	. . . . . . 7
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
21		axlowdimlem16.1	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
22	21	axlowdimlem8 25829	. . . . . . . . . . . 12
23	20, 22	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11
24	23	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
25		sqneg 12923	. . . . . . . . . . 11
26	10, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
27	24, 26	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
28	27	fsum1 14476	. . . . . . . 8 $/\$
29	8, 11, 28	mp2an 708	. . . . . . 7
30	19, 29	syl6reqr 2675	. . . . . 6
31	1, 30	syl 17	. . . . 5
32	31	a1i 11	. . . 4
33		oveq1 6657	. . . . . . 7
34		3m1e2 11137	. . . . . . 7
35	33, 34	syl6eq 2672	. . . . . 6
36	35	oveq2d 6666	. . . . 5
37	36	eleq2d 2687	. . . 4
38		oveq2 6658	. . . . . 6
39	38	sumeq1d 14431	. . . . 5
40	38	sumeq1d 14431	. . . . 5
41	39, 40	eqeq12d 2637	. . . 4
42	32, 37, 41	3imtr4d 283	. . 3
43	42	adantld 483	. 2 $/\$
44		simprl 794	. . . 4 $/\$ $/\$
45		eluzle 11700	. . . . . . 7
46	45	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
47		simpl 473	. . . . . 6 $/\$
48		3re 11094	. . . . . . 7
49		eluzelre 11698	. . . . . . . 8
50	49	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
51		ltlen 10138	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
52	48, 50, 51	sylancr 695	. . . . . 6 $/\$ $/\$
53	46, 47, 52	mpbir2and 957	. . . . 5 $/\$
54	53	adantrr 753	. . . 4 $/\$ $/\$
55		simprr 796	. . . 4 $/\$ $/\$
56		fzssp1 12384	. . . . . . . . . . . . 13
57		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
58	56, 57	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
59		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16
60	59	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
61	60	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
62		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
63	61, 10, 62	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
64	63	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
65	58, 64	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
66		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
68	67	zred 11482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
69	68	ltp1d 10954	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
70		fzdisj 12368	. . . . . . . 8
71	69, 70	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
72		fzsplit 12367	. . . . . . . 8
73	65, 72	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
74		fzfid 12772	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
75		eluzge3nn 11730	. . . . . . . . . . 11
76		2eluzge1 11734	. . . . . . . . . . . . 13
77		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
79	78	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11
80	13	axlowdimlem10 25831	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81	75, 79, 80	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 $/\$
82		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . 12
83	76, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
84	83	sseli 3599	. . . . . . . . . 10
85		fveecn 25782	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	81, 84, 85	syl2an 494	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	86	sqcld 13006	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
88	87	3adantl2 1218	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
89	71, 73, 74, 88	fsumsplit 14471	. . . . . 6 $/\$ $/\$
90		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . . . 16
91	76, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
92	91	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . 14
93		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
94	93	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
95	94	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
96	49	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
97		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
99		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
100	99	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
101	96	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
102	95, 98, 96, 100, 101	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
103	95, 96, 102	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
104	93	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
105		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
106	104, 60, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
107	103, 106	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
108		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . . . . 16
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
110	109	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
111	92, 110	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
112	111	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
113		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15
114	113	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14
115	114	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
116	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
117		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
118	94, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
119	118	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
120	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
121		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . 15
122	121	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
123	116	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
124	115, 116, 120, 122, 123	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
125	115, 124	ltned 10173	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
126	13	axlowdimlem12 25833	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
127	112, 125, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
128	127	sq0id 12957	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
130		fzfi 12771	. . . . . . . . . . 11
131	130	olci 406	. . . . . . . . . 10 $\/$
132		sumz 14453	. . . . . . . . . 10 $\/$
133	131, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
134	129, 133	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
135	104	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
136		sq1 12958	. . . . . . . . . . . . 13
137	16, 136	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12
138	137	fsum1 14476	. . . . . . . . . . 11 $/\$
139	135, 10, 138	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
140		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
141	140	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . 11
142	141	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10
143	139, 142	syl5ib 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
144	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
145	144	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
146	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
147	146	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
148	147, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
149	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
150	147	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
151	145, 148, 147, 149, 150	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
152		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
153		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
154	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
155		1le2 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
157		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
158	152, 154, 94, 156, 157	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
159	158	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
160	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
161		elnnz1 11403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
162	144, 160, 161	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
163	75	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
164	163	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
165		nnltp1le 11433	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
166	162, 164, 165	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
167	151, 166	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
168	135	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
169		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
170	168, 146, 169	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
171	167, 170	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
172		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
173		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
174	172, 173, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
175	174	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	162	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
177		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
178	176, 177	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
179		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . . . 16
180	178, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
181	180	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
182	175, 181, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
183	182	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
184	12	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
185	14	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14
186	185, 136	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13
187	184, 186	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12
188	171, 183, 187	fsum1p 14482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
189	176	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
190	189, 177	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
191		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
192	190, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
193	192	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
194	145, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
195	194	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
196		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
197	195, 196	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
198		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
199	198	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
200	199	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201	195	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
203	202	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
204	195, 197, 200, 201, 203	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
205	195, 204	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
206	193, 205, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
207	206	sq0id 12957	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
208	207	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
209		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . . . . . 16
210	209	olci 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
211		sumz 14453	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
212	210, 211	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
213	208, 212	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
214	213	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
215		1p0e1 11133	. . . . . . . . . . . 12
216	214, 215	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
217	188, 216	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
218	217	ex 450	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
219	143, 218	pm2.61ine 2877	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
220	134, 219	oveq12d 6668	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
221		0p1e1 11132	. . . . . . 7
222	220, 221	syl6eq 2672	. . . . . 6 $/\$ $/\$
223	89, 222	eqtrd 2656	. . . . 5 $/\$ $/\$
224		simp1 1061	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
225		2lt3 11195	. . . . . . . . . 10
226	153, 48, 225	ltleii 10160	. . . . . . . . 9
227		2z 11409	. . . . . . . . . 10
228	227	eluz1i 11695	. . . . . . . . 9 $/\$
229	8, 226, 228	mpbir2an 955	. . . . . . . 8
230		uztrn 11704	. . . . . . . 8 $/\$
231	224, 229, 230	sylancl 694	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
232		fveq2 6191	. . . . . . . 8
233	232	oveq1d 6665	. . . . . . 7
234	231, 88, 233	fsum1p 14482	. . . . . 6 $/\$ $/\$
235	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
236	235	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
237		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
238	153, 48, 237	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
239	225, 238	mpani 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16
240	49, 239	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
241	240	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
242		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
243	153, 242	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14
244	236, 241, 243	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
245	244, 155	jctil 560	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
246		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . 14
247		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
248	227, 246, 247	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
249	235, 248	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
250	245, 249	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 $/\$
251	250	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
252	94	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . 14
253	154, 94, 118, 157, 252	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13
254	253	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
255		ltne 10134	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
256	153, 254, 255	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
257	256	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
258	13	axlowdimlem12 25833	. . . . . . . . . 10 $/\$
259	251, 257, 258	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
260	259	sq0id 12957	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
261	260	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
262	3	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9
263	262	sumeq1i 14428	. . . . . . . 8
264	263	oveq2i 6661	. . . . . . 7
265	261, 264	syl6eqr 2674	. . . . . 6 $/\$ $/\$
266		fzfid 12772	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
267		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . . 14
268	267, 177	eleqtri 2699	. . . . . . . . . . . . 13
269		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . 13
270	268, 269	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
271	270	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11
272	81, 271, 85	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
273	272	sqcld 13006	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
274	273	3adantl2 1218	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
275	266, 274	fsumcl 14464	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
276	275	addid2d 10237	. . . . . 6 $/\$ $/\$
277	234, 265, 276	3eqtrrd 2661	. . . . 5 $/\$ $/\$
278		simpl 473	. . . . . . . . 9 $/\$
279	21	axlowdimlem7 25828	. . . . . . . . . . . 12
280	279	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
281	271	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
282		fveecn 25782	. . . . . . . . . . 11 $/\$
283	280, 281, 282	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
284	283	sqcld 13006	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
285		neg1sqe1 12959	. . . . . . . . . 10
286	24, 285	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
287	278, 284, 286	fsum1p 14482	. . . . . . . 8 $/\$
288		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
289		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
290	8, 246, 289	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
291	290	zrei 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
292		1lt3 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
293	48	ltp1i 10927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
294	288, 48, 291	lttri 10163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
295	292, 293, 294	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
296	288, 291, 295	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
297		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
298	246, 290, 297	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
299	296, 298	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16
300		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . . . 16
301	299, 300	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
302	301	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . 14
303	302	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
304	48, 291	ltnlei 10158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
305	293, 304	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
306	305	intnanr 961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
307		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
308	8, 290, 307	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
309	235, 308	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
310	306, 309	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
311		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
312	311	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16
313	310, 312	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
314	313	necon2ad 2809	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
315	314	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
316	21	axlowdimlem9 25830	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
317	303, 315, 316	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
318	317	sq0id 12957	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
319	318	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . 10 $/\$
320		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . 12
321	320	olci 406	. . . . . . . . . . 11 $\/$
322		sumz 14453	. . . . . . . . . . 11 $\/$
323	321, 322	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
324	319, 323	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 $/\$
325	324	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$
326	287, 325	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
327	326, 215	syl6eq 2672	. . . . . 6 $/\$
328	327	3adant3 1081	. . . . 5 $/\$ $/\$
329	223, 277, 328	3eqtr4rd 2667	. . . 4 $/\$ $/\$
330	44, 54, 55, 329	syl3anc 1326	. . 3 $/\$ $/\$
331	330	ex 450	. 2 $/\$
332	43, 331	pm2.61ine 2877	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

csn 4177

cop 4183 class class class wbr 4653

cxp 5112

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cn 11020

c2 11070

c3 11071

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cexp 12860

csu 14416

cee 25768

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-ee 25771

This theorem is referenced by: axlowdimlem17 25838

W3C validator