Theorem bj-restuni 33050

Description: The union of an elementwise intersection by a set is equal to the intersection with that set of the union of the family. See also restuni 20966 and restuni2 20971. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restuni	|- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> U. ( X ↾t A ) = ( U. X i^i A ) )

Proof of Theorem bj-restuni

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 4439	. . 3 |- ( x e. U. ( X ↾t A ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( X ↾t A ) ) )
2		elrest 16088	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( y e. ( X ↾t A ) <-> E. z e. X y = ( z i^i A ) ) )
3	2	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( ( x e. y /\ y e. ( X ↾t A ) ) <-> ( x e. y /\ E. z e. X y = ( z i^i A ) ) ) )
4	3	exbidv 1850	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( E. y ( x e. y /\ y e. ( X ↾t A ) ) <-> E. y ( x e. y /\ E. z e. X y = ( z i^i A ) ) ) )
5		eluni 4439	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. X <-> E. z ( x e. z /\ z e. X ) )
6	5	bicomi 214	. . . . . . 7 |- ( E. z ( x e. z /\ z e. X ) <-> x e. U. X )
7	6	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( E. z ( x e. z /\ z e. X ) /\ x e. A ) <-> ( x e. U. X /\ x e. A ) )
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( ( E. z ( x e. z /\ z e. X ) /\ x e. A ) <-> ( x e. U. X /\ x e. A ) ) )
9		df-rex 2918	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. X y = ( z i^i A ) <-> E. z ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) )
10	9	anbi2i 730	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. y /\ E. z e. X y = ( z i^i A ) ) <-> ( x e. y /\ E. z ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) ) )
11		19.42v 1918	. . . . . . . . 9 |- ( E. z ( x e. y /\ ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) ) <-> ( x e. y /\ E. z ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) ) )
12	11	bicomi 214	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. y /\ E. z ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) ) <-> E. z ( x e. y /\ ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) ) )
13	10, 12	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y /\ E. z e. X y = ( z i^i A ) ) <-> E. z ( x e. y /\ ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) ) )
14	13	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. y ( x e. y /\ E. z e. X y = ( z i^i A ) ) <-> E. y E. z ( x e. y /\ ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) ) )
15		excom 2042	. . . . . 6 |- ( E. y E. z ( x e. y /\ ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) ) <-> E. z E. y ( x e. y /\ ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) ) )
16		an12 838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. y /\ ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) ) <-> ( z e. X /\ ( x e. y /\ y = ( z i^i A ) ) ) )
17	16	exbii 1774	. . . . . . . . 9 |- ( E. y ( x e. y /\ ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) ) <-> E. y ( z e. X /\ ( x e. y /\ y = ( z i^i A ) ) ) )
18		19.42v 1918	. . . . . . . . 9 |- ( E. y ( z e. X /\ ( x e. y /\ y = ( z i^i A ) ) ) <-> ( z e. X /\ E. y ( x e. y /\ y = ( z i^i A ) ) ) )
19		eqimss 3657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( z i^i A ) -> y C_ ( z i^i A ) )
20	19	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( z i^i A ) -> ( x e. y -> x e. ( z i^i A ) ) )
21	20	imdistanri 727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. y /\ y = ( z i^i A ) ) -> ( x e. ( z i^i A ) /\ y = ( z i^i A ) ) )
22		eqimss2 3658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( z i^i A ) -> ( z i^i A ) C_ y )
23	22	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( z i^i A ) -> ( x e. ( z i^i A ) -> x e. y ) )
24	23	imdistanri 727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( z i^i A ) /\ y = ( z i^i A ) ) -> ( x e. y /\ y = ( z i^i A ) ) )
25	21, 24	impbii 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. y /\ y = ( z i^i A ) ) <-> ( x e. ( z i^i A ) /\ y = ( z i^i A ) ) )
26	25	exbii 1774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y ( x e. y /\ y = ( z i^i A ) ) <-> E. y ( x e. ( z i^i A ) /\ y = ( z i^i A ) ) )
27		19.42v 1918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y ( x e. ( z i^i A ) /\ y = ( z i^i A ) ) <-> ( x e. ( z i^i A ) /\ E. y y = ( z i^i A ) ) )
28		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
29	28	inex1 4799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z i^i A ) e. _V
30	29	isseti 3209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E. y y = ( z i^i A )
31	30	biantru 526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( z i^i A ) <-> ( x e. ( z i^i A ) /\ E. y y = ( z i^i A ) ) )
32	31	bicomi 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( z i^i A ) /\ E. y y = ( z i^i A ) ) <-> x e. ( z i^i A ) )
33		elin 3796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z i^i A ) <-> ( x e. z /\ x e. A ) )
34	32, 33	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( z i^i A ) /\ E. y y = ( z i^i A ) ) <-> ( x e. z /\ x e. A ) )
35	26, 27, 34	3bitri 286	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y ( x e. y /\ y = ( z i^i A ) ) <-> ( x e. z /\ x e. A ) )
36	35	anbi2i 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X /\ E. y ( x e. y /\ y = ( z i^i A ) ) ) <-> ( z e. X /\ ( x e. z /\ x e. A ) ) )
37		biid 251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. z /\ x e. A ) <-> ( x e. z /\ x e. A ) )
38	37	bianass 842	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X /\ ( x e. z /\ x e. A ) ) <-> ( ( z e. X /\ x e. z ) /\ x e. A ) )
39		ancom 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X /\ x e. z ) <-> ( x e. z /\ z e. X ) )
40	39	anbi1i 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. X /\ x e. z ) /\ x e. A ) <-> ( ( x e. z /\ z e. X ) /\ x e. A ) )
41	36, 38, 40	3bitri 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. X /\ E. y ( x e. y /\ y = ( z i^i A ) ) ) <-> ( ( x e. z /\ z e. X ) /\ x e. A ) )
42	17, 18, 41	3bitri 286	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( x e. y /\ ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) ) <-> ( ( x e. z /\ z e. X ) /\ x e. A ) )
43	42	exbii 1774	. . . . . . 7 |- ( E. z E. y ( x e. y /\ ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) ) <-> E. z ( ( x e. z /\ z e. X ) /\ x e. A ) )
44		19.41v 1914	. . . . . . 7 |- ( E. z ( ( x e. z /\ z e. X ) /\ x e. A ) <-> ( E. z ( x e. z /\ z e. X ) /\ x e. A ) )
45	43, 44	bitri 264	. . . . . 6 |- ( E. z E. y ( x e. y /\ ( z e. X /\ y = ( z i^i A ) ) ) <-> ( E. z ( x e. z /\ z e. X ) /\ x e. A ) )
46	14, 15, 45	3bitri 286	. . . . 5 |- ( E. y ( x e. y /\ E. z e. X y = ( z i^i A ) ) <-> ( E. z ( x e. z /\ z e. X ) /\ x e. A ) )
47		elin 3796	. . . . 5 |- ( x e. ( U. X i^i A ) <-> ( x e. U. X /\ x e. A ) )
48	8, 46, 47	3bitr4g 303	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( E. y ( x e. y /\ E. z e. X y = ( z i^i A ) ) <-> x e. ( U. X i^i A ) ) )
49	4, 48	bitrd 268	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( E. y ( x e. y /\ y e. ( X ↾t A ) ) <-> x e. ( U. X i^i A ) ) )
50	1, 49	syl5bb 272	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( x e. U. ( X ↾t A ) <-> x e. ( U. X i^i A ) ) )
51	50	eqrdv 2620	1 |- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> U. ( X ↾t A ) = ( U. X i^i A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   i^i cin 3573   U.cuni 4436  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rest 16083

This theorem is referenced by:  bj-restuni2  33051