Theorem bndss 33585

Description: A subset of a bounded metric space is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
bndss	|- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ S C_ X ) -> ( M |` ( S X. S ) ) e. ( Bnd ` S ) )

Proof of Theorem bndss

Dummy variables r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metres2 22168	. . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ S C_ X ) -> ( M |` ( S X. S ) ) e. ( Met ` S ) )
2	1	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) /\ S C_ X ) -> ( M |` ( S X. S ) ) e. ( Met ` S ) )
3		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ X /\ x e. S ) -> x e. X )
4	3	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. S /\ S C_ X ) -> x e. X )
5		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( y ( ball ` M ) r ) = ( x ( ball ` M ) r ) )
6	5	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( X = ( y ( ball ` M ) r ) <-> X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
7	6	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) <-> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
8	7	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
9	4, 8	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. S /\ S C_ X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
10	9	adantlll 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. S ) /\ S C_ X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
11		dfss 3589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S C_ X <-> S = ( S i^i X ) )
12	11	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S C_ X -> S = ( S i^i X ) )
13		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S i^i X ) = ( X i^i S )
14	12, 13	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S C_ X -> S = ( X i^i S ) )
15		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( X i^i S ) = ( ( x ( ball ` M ) r ) i^i S ) )
16	14, 15	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S C_ X /\ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> S = ( ( x ( ball ` M ) r ) i^i S ) )
17	16	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. S ) /\ S C_ X ) /\ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> S = ( ( x ( ball ` M ) r ) i^i S ) )
18	17	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. S ) /\ S C_ X ) /\ r e. RR+ ) /\ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> S = ( ( x ( ball ` M ) r ) i^i S ) )
19		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M |` ( S X. S ) ) = ( M |` ( S X. S ) )
20	19	blssp 33552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ S C_ X ) /\ ( x e. S /\ r e. RR+ ) ) -> ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) = ( ( x ( ball ` M ) r ) i^i S ) )
21	20	an4s 869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. S ) /\ ( S C_ X /\ r e. RR+ ) ) -> ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) = ( ( x ( ball ` M ) r ) i^i S ) )
22	21	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. S ) /\ S C_ X ) /\ r e. RR+ ) -> ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) = ( ( x ( ball ` M ) r ) i^i S ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. S ) /\ S C_ X ) /\ r e. RR+ ) /\ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) = ( ( x ( ball ` M ) r ) i^i S ) )
24	18, 23	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. S ) /\ S C_ X ) /\ r e. RR+ ) /\ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> S = ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) )
25	24	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. S ) /\ S C_ X ) /\ r e. RR+ ) -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) -> S = ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) ) )
26	25	reximdva 3017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. S ) /\ S C_ X ) -> ( E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ S = ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) ) )
27	26	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. S ) /\ S C_ X ) /\ E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> E. r e. RR+ S = ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) )
28	10, 27	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. S ) /\ S C_ X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) -> E. r e. RR+ S = ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) )
29	28	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. S ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) /\ S C_ X ) -> E. r e. RR+ S = ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) )
30	29	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. S ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) -> ( S C_ X -> E. r e. RR+ S = ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) ) )
31	30	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) /\ x e. S ) -> ( S C_ X -> E. r e. RR+ S = ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) ) )
32	31	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) /\ x e. S ) /\ S C_ X ) -> E. r e. RR+ S = ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) )
33	32	an32s 846	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) /\ S C_ X ) /\ x e. S ) -> E. r e. RR+ S = ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) )
34	33	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) /\ S C_ X ) -> A. x e. S E. r e. RR+ S = ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) )
35	2, 34	jca 554	. 2 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) /\ S C_ X ) -> ( ( M |` ( S X. S ) ) e. ( Met ` S ) /\ A. x e. S E. r e. RR+ S = ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) ) )
36		isbnd 33579	. . 3 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) )
37	36	anbi1i 731	. 2 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ S C_ X ) <-> ( ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) /\ S C_ X ) )
38		isbnd 33579	. 2 |- ( ( M |` ( S X. S ) ) e. ( Bnd ` S ) <-> ( ( M |` ( S X. S ) ) e. ( Met ` S ) /\ A. x e. S E. r e. RR+ S = ( x ( ball ` ( M |` ( S X. S ) ) ) r ) ) )
39	35, 37, 38	3imtr4i 281	1 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ S C_ X ) -> ( M |` ( S X. S ) ) e. ( Bnd ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RR+crp 11832   Metcme 19732   ballcbl 19733   Bndcbnd 33566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-mulcl 9998  ax-i2m1 10004

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-bnd 33578

This theorem is referenced by:  ssbnd  33587