Theorem isbnd3b 33584

Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd3b	|- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, M   x, X, y, z

Proof of Theorem isbnd3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbnd3 33583	. 2 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
2		metf 22135	. . . . . . 7 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
3	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
4		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( M : ( X X. X ) --> RR -> M Fn ( X X. X ) )
5		ffnov 6764	. . . . . . 7 |- ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> ( M Fn ( X X. X ) /\ A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) )
6	5	baib 944	. . . . . 6 |- ( M Fn ( X X. X ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) )
8		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 e. RR )
9		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> x e. RR )
10		metcl 22137	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. RR )
11	10	3expb 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) e. RR )
12	11	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) e. RR )
13		metge0 22150	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> 0 <_ ( y M z ) )
14	13	3expb 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( y M z ) )
15	14	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( y M z ) )
16		elicc2 12238	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
17		df-3an 1039	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) <-> ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) /\ ( y M z ) <_ x ) )
18	16, 17	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
19	18	baibd 948	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) /\ ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( y M z ) <_ x ) )
20	8, 9, 12, 15, 19	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( y M z ) <_ x ) )
21	20	2ralbidva 2988	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
22	7, 21	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
23	22	rexbidva 3049	. . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
24	23	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
25	1, 24	bitri 264	1 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   [,]cicc 12178   Metcme 19732   Bndcbnd 33566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-bnd 33578

This theorem is referenced by:  equivbnd  33589  iccbnd  33639