Theorem blssp 33552

Description: A ball in the subspace metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
blssp.2	|- N = ( M |` ( S X. S ) )

Assertion

Ref	Expression
blssp	|- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ S C_ X ) /\ ( Y e. S /\ R e. RR+ ) ) -> ( Y ( ball ` N ) R ) = ( ( Y ( ball ` M ) R ) i^i S ) )

Proof of Theorem blssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 22139	. . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M e. ( *Met ` X ) )
2	1	ad2antrr 762	. 2 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ S C_ X ) /\ ( Y e. S /\ R e. RR+ ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
3		simprl 794	. . 3 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ S C_ X ) /\ ( Y e. S /\ R e. RR+ ) ) -> Y e. S )
4		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ S C_ X ) /\ ( Y e. S /\ R e. RR+ ) ) -> S C_ X )
5		sseqin2 3817	. . . 4 |- ( S C_ X <-> ( X i^i S ) = S )
6	4, 5	sylib 208	. . 3 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ S C_ X ) /\ ( Y e. S /\ R e. RR+ ) ) -> ( X i^i S ) = S )
7	3, 6	eleqtrrd 2704	. 2 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ S C_ X ) /\ ( Y e. S /\ R e. RR+ ) ) -> Y e. ( X i^i S ) )
8		rpxr 11840	. . 3 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
9	8	ad2antll 765	. 2 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ S C_ X ) /\ ( Y e. S /\ R e. RR+ ) ) -> R e. RR* )
10		blssp.2	. . 3 |- N = ( M |` ( S X. S ) )
11	10	blres 22236	. 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. ( X i^i S ) /\ R e. RR* ) -> ( Y ( ball ` N ) R ) = ( ( Y ( ball ` M ) R ) i^i S ) )
12	2, 7, 9, 11	syl3anc 1326	1 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ S C_ X ) /\ ( Y e. S /\ R e. RR+ ) ) -> ( Y ( ball ` N ) R ) = ( ( Y ( ball ` M ) R ) i^i S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   C_ wss 3574   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   ballcbl 19733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-mulcl 9998  ax-i2m1 10004

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  bndss  33585