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Theorem blbnd 33586
Description: A ball is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blbnd |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) -> ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) e. ( Bnd ` ( Y ( ball ` M ) R ) ) )
Proof of Theorem blbnd
Dummy variables r x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1061 . . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) -> M e. ( *Met ` X ) )
2 rexr 10085 . . . . . 6 |- ( R e. RR -> R e. RR* )
3 blssm 22223 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR* ) -> ( Y ( ball ` M ) R ) C_ X )
42, 3syl3an3 1361 . . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) -> ( Y ( ball ` M ) R ) C_ X )
5 xmetres2 22166 . . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) C_ X ) -> ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) e. ( *Met ` ( Y ( ball ` M ) R ) ) )
61, 4, 5syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) -> ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) e. ( *Met ` ( Y ( ball ` M ) R ) ) )
76adantr 481 . . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) = (/) ) -> ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) e. ( *Met ` ( Y ( ball ` M ) R ) ) )
8 rzal 4073 . . . 4 |- ( ( Y ( ball ` M ) R ) = (/) -> A. x e. ( Y ( ball ` M ) R ) E. r e. RR+ ( Y ( ball ` M ) R ) = ( x ( ball ` ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) ) r ) )
98adantl 482 . . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) = (/) ) -> A. x e. ( Y ( ball ` M ) R ) E. r e. RR+ ( Y ( ball ` M ) R ) = ( x ( ball ` ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) ) r ) )
10 isbndx 33581 . . 3 |- ( ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) e. ( Bnd ` ( Y ( ball ` M ) R ) ) <-> ( ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) e. ( *Met ` ( Y ( ball ` M ) R ) ) /\ A. x e. ( Y ( ball ` M ) R ) E. r e. RR+ ( Y ( ball ` M ) R ) = ( x ( ball ` ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) ) r ) ) )
117, 9, 10sylanbrc 698 . 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) = (/) ) -> ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) e. ( Bnd ` ( Y ( ball ` M ) R ) ) )
126adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) -> ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) e. ( *Met ` ( Y ( ball ` M ) R ) ) )
131adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
14 simpl2 1065 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) -> Y e. X )
15 simpl3 1066 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) -> R e. RR )
16 xbln0 22219 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR* ) -> ( ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) <-> 0 < R ) )
172, 16syl3an3 1361 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) -> ( ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) <-> 0 < R ) )
1817biimpa 501 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) -> 0 < R )
1915, 18elrpd 11869 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) -> R e. RR+ )
20 blcntr 22218 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR+ ) -> Y e. ( Y ( ball ` M ) R ) )
2113, 14, 19, 20syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) -> Y e. ( Y ( ball ` M ) R ) )
2214, 21elind 3798 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) -> Y e. ( X i^i ( Y ( ball ` M ) R ) ) )
2315rexrd 10089 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) -> R e. RR* )
24 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) = ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) )
2524blres 22236 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. ( X i^i ( Y ( ball ` M ) R ) ) /\ R e. RR* ) -> ( Y ( ball ` ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) ) R ) = ( ( Y ( ball ` M ) R ) i^i ( Y ( ball ` M ) R ) ) )
2613, 22, 23, 25syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) -> ( Y ( ball ` ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) ) R ) = ( ( Y ( ball ` M ) R ) i^i ( Y ( ball ` M ) R ) ) )
27 inidm 3822 . . . . . 6 |- ( ( Y ( ball ` M ) R ) i^i ( Y ( ball ` M ) R ) ) = ( Y ( ball ` M ) R )
2826, 27syl6req 2673 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) -> ( Y ( ball ` M ) R ) = ( Y ( ball ` ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) ) R ) )
29 rspceov 6692 . . . . 5 |- ( ( Y e. ( Y ( ball ` M ) R ) /\ R e. RR+ /\ ( Y ( ball ` M ) R ) = ( Y ( ball ` ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) ) R ) ) -> E. x e. ( Y ( ball ` M ) R ) E. r e. RR+ ( Y ( ball ` M ) R ) = ( x ( ball ` ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) ) r ) )
3021, 19, 28, 29syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) -> E. x e. ( Y ( ball ` M ) R ) E. r e. RR+ ( Y ( ball ` M ) R ) = ( x ( ball ` ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) ) r ) )
31 isbnd2 33582 . . . 4 |- ( ( ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) e. ( Bnd ` ( Y ( ball ` M ) R ) ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) <-> ( ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) e. ( *Met ` ( Y ( ball ` M ) R ) ) /\ E. x e. ( Y ( ball ` M ) R ) E. r e. RR+ ( Y ( ball ` M ) R ) = ( x ( ball ` ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) ) r ) ) )
3212, 30, 31sylanbrc 698 . . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) -> ( ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) e. ( Bnd ` ( Y ( ball ` M ) R ) ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) )
3332simpld 475 . 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) /\ ( Y ( ball ` M ) R ) =/= (/) ) -> ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) e. ( Bnd ` ( Y ( ball ` M ) R ) ) )
3411, 33pm2.61dane 2881 1 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ R e. RR ) -> ( M |` ( ( Y ( ball ` M ) R ) X. ( Y ( ball ` M ) R ) ) ) e. ( Bnd ` ( Y ( ball ` M ) R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   Bndcbnd 33566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-bnd 33578
This theorem is referenced by:  ssbnd  33587  prdsbnd2  33594
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