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Theorem ssbnd 33587
Description: A subset of a metric space is bounded iff it is contained in a ball around P, for any P in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ssbnd.2 |- N = ( M |` ( Y X. Y ) )
Assertion
Ref Expression
ssbnd |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( Bnd ` Y ) <-> E. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) )
Distinct variable groups:   M, d   N, d   P, d   X, d   Y, d
Proof of Theorem ssbnd
Dummy variables r y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 10040 . . . . . . 7 |- 0 e. RR
21ne0ii 3923 . . . . . 6 |- RR =/= (/)
3 0ss 3972 . . . . . . . 8 |- (/) C_ ( P ( ball ` M ) d )
4 sseq1 3626 . . . . . . . 8 |- ( Y = (/) -> ( Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) <-> (/) C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) )
53, 4mpbiri 248 . . . . . . 7 |- ( Y = (/) -> Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) )
65ralrimivw 2967 . . . . . 6 |- ( Y = (/) -> A. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) )
7 r19.2z 4060 . . . . . 6 |- ( ( RR =/= (/) /\ A. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) -> E. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) )
82, 6, 7sylancr 695 . . . . 5 |- ( Y = (/) -> E. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) )
98a1i 11 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( Bnd ` Y ) ) -> ( Y = (/) -> E. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) )
10 isbnd2 33582 . . . . . 6 |- ( ( N e. ( Bnd ` Y ) /\ Y =/= (/) ) <-> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ E. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
11 simplll 798 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> M e. ( Met ` X ) )
12 ssbnd.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- N = ( M |` ( Y X. Y ) )
1312dmeqi 5325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- dom N = dom ( M |` ( Y X. Y ) )
14 dmres 5419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- dom ( M |` ( Y X. Y ) ) = ( ( Y X. Y ) i^i dom M )
1513, 14eqtri 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom N = ( ( Y X. Y ) i^i dom M )
16 xmetf 22134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> N : ( Y X. Y ) --> RR* )
17 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N : ( Y X. Y ) --> RR* -> dom N = ( Y X. Y ) )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> dom N = ( Y X. Y ) )
1915, 18syl5eqr 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> ( ( Y X. Y ) i^i dom M ) = ( Y X. Y ) )
20 df-ss 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Y X. Y ) C_ dom M <-> ( ( Y X. Y ) i^i dom M ) = ( Y X. Y ) )
2119, 20sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> ( Y X. Y ) C_ dom M )
2221ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( Y X. Y ) C_ dom M )
23 metf 22135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
24 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M : ( X X. X ) --> RR -> dom M = ( X X. X ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ( Met ` X ) -> dom M = ( X X. X ) )
2625ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> dom M = ( X X. X ) )
2722, 26sseqtrd 3641 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( Y X. Y ) C_ ( X X. X ) )
28 dmss 5323 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Y X. Y ) C_ ( X X. X ) -> dom ( Y X. Y ) C_ dom ( X X. X ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> dom ( Y X. Y ) C_ dom ( X X. X ) )
30 dmxpid 5345 . . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( Y X. Y ) = Y
31 dmxpid 5345 . . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( X X. X ) = X
3229, 30, 313sstr3g 3645 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> Y C_ X )
33 simprl 794 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> y e. Y )
3432, 33sseldd 3604 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> y e. X )
35 simpllr 799 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> P e. X )
36 metcl 22137 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ P e. X ) -> ( y M P ) e. RR )
3711, 34, 35, 36syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( y M P ) e. RR )
38 rpre 11839 . . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
3938ad2antll 765 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> r e. RR )
4037, 39readdcld 10069 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( y M P ) + r ) e. RR )
41 metxmet 22139 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M e. ( *Met ` X ) )
4211, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
4334, 33elind 3798 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> y e. ( X i^i Y ) )
44 rpxr 11840 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
4544ad2antll 765 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> r e. RR* )
4612blres 22236 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. ( X i^i Y ) /\ r e. RR* ) -> ( y ( ball ` N ) r ) = ( ( y ( ball ` M ) r ) i^i Y ) )
4742, 43, 45, 46syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( y ( ball ` N ) r ) = ( ( y ( ball ` M ) r ) i^i Y ) )
48 inss1 3833 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y ( ball ` M ) r ) i^i Y ) C_ ( y ( ball ` M ) r )
4937leidd 10594 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( y M P ) <_ ( y M P ) )
5037recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( y M P ) e. CC )
5139recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> r e. CC )
5250, 51pncand 10393 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( ( y M P ) + r ) - r ) = ( y M P ) )
5349, 52breqtrrd 4681 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( y M P ) <_ ( ( ( y M P ) + r ) - r ) )
54 blss2 22209 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ P e. X ) /\ ( r e. RR /\ ( ( y M P ) + r ) e. RR /\ ( y M P ) <_ ( ( ( y M P ) + r ) - r ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) r ) C_ ( P ( ball ` M ) ( ( y M P ) + r ) ) )
5542, 34, 35, 39, 40, 53, 54syl33anc 1341 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( y ( ball ` M ) r ) C_ ( P ( ball ` M ) ( ( y M P ) + r ) ) )
5648, 55syl5ss 3614 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( y ( ball ` M ) r ) i^i Y ) C_ ( P ( ball ` M ) ( ( y M P ) + r ) ) )
5747, 56eqsstrd 3639 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( y ( ball ` N ) r ) C_ ( P ( ball ` M ) ( ( y M P ) + r ) ) )
58 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( ( y M P ) + r ) -> ( P ( ball ` M ) d ) = ( P ( ball ` M ) ( ( y M P ) + r ) ) )
5958sseq2d 3633 . . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( ( y M P ) + r ) -> ( ( y ( ball ` N ) r ) C_ ( P ( ball ` M ) d ) <-> ( y ( ball ` N ) r ) C_ ( P ( ball ` M ) ( ( y M P ) + r ) ) ) )
6059rspcev 3309 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y M P ) + r ) e. RR /\ ( y ( ball ` N ) r ) C_ ( P ( ball ` M ) ( ( y M P ) + r ) ) ) -> E. d e. RR ( y ( ball ` N ) r ) C_ ( P ( ball ` M ) d ) )
6140, 57, 60syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> E. d e. RR ( y ( ball ` N ) r ) C_ ( P ( ball ` M ) d ) )
62 sseq1 3626 . . . . . . . . . 10 |- ( Y = ( y ( ball ` N ) r ) -> ( Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) <-> ( y ( ball ` N ) r ) C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) )
6362rexbidv 3052 . . . . . . . . 9 |- ( Y = ( y ( ball ` N ) r ) -> ( E. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) <-> E. d e. RR ( y ( ball ` N ) r ) C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) )
6461, 63syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( Y = ( y ( ball ` N ) r ) -> E. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) )
6564rexlimdvva 3038 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( E. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) -> E. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) )
6665expimpd 629 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ E. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) -> E. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) )
6710, 66syl5bi 232 . . . . 5 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( ( N e. ( Bnd ` Y ) /\ Y =/= (/) ) -> E. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) )
6867expdimp 453 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( Bnd ` Y ) ) -> ( Y =/= (/) -> E. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) )
699, 68pm2.61dne 2880 . . 3 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N e. ( Bnd ` Y ) ) -> E. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) )
7069ex 450 . 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( Bnd ` Y ) -> E. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) )
71 simprr 796 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( d e. RR /\ Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) ) -> Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) )
72 xpss12 5225 . . . . . . 7 |- ( ( Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) /\ Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) -> ( Y X. Y ) C_ ( ( P ( ball ` M ) d ) X. ( P ( ball ` M ) d ) ) )
7371, 71, 72syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( d e. RR /\ Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) ) -> ( Y X. Y ) C_ ( ( P ( ball ` M ) d ) X. ( P ( ball ` M ) d ) ) )
7473resabs1d 5428 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( d e. RR /\ Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) ) -> ( ( M |` ( ( P ( ball ` M ) d ) X. ( P ( ball ` M ) d ) ) ) |` ( Y X. Y ) ) = ( M |` ( Y X. Y ) ) )
7574, 12syl6eqr 2674 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( d e. RR /\ Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) ) -> ( ( M |` ( ( P ( ball ` M ) d ) X. ( P ( ball ` M ) d ) ) ) |` ( Y X. Y ) ) = N )
76 blbnd 33586 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ d e. RR ) -> ( M |` ( ( P ( ball ` M ) d ) X. ( P ( ball ` M ) d ) ) ) e. ( Bnd ` ( P ( ball ` M ) d ) ) )
7741, 76syl3an1 1359 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X /\ d e. RR ) -> ( M |` ( ( P ( ball ` M ) d ) X. ( P ( ball ` M ) d ) ) ) e. ( Bnd ` ( P ( ball ` M ) d ) ) )
78773expa 1265 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ d e. RR ) -> ( M |` ( ( P ( ball ` M ) d ) X. ( P ( ball ` M ) d ) ) ) e. ( Bnd ` ( P ( ball ` M ) d ) ) )
7978adantrr 753 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( d e. RR /\ Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) ) -> ( M |` ( ( P ( ball ` M ) d ) X. ( P ( ball ` M ) d ) ) ) e. ( Bnd ` ( P ( ball ` M ) d ) ) )
80 bndss 33585 . . . . 5 |- ( ( ( M |` ( ( P ( ball ` M ) d ) X. ( P ( ball ` M ) d ) ) ) e. ( Bnd ` ( P ( ball ` M ) d ) ) /\ Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) -> ( ( M |` ( ( P ( ball ` M ) d ) X. ( P ( ball ` M ) d ) ) ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( Bnd ` Y ) )
8179, 71, 80syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( d e. RR /\ Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) ) -> ( ( M |` ( ( P ( ball ` M ) d ) X. ( P ( ball ` M ) d ) ) ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( Bnd ` Y ) )
8275, 81eqeltrrd 2702 . . 3 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( d e. RR /\ Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) ) -> N e. ( Bnd ` Y ) )
8382rexlimdvaa 3032 . 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( E. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) -> N e. ( Bnd ` Y ) ) )
8470, 83impbid 202 1 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( Bnd ` Y ) <-> E. d e. RR Y C_ ( P ( ball ` M ) d ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   ballcbl 19733   Bndcbnd 33566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-bnd 33578
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  33594  cntotbnd  33595
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