Theorem bnj1029 31036

Description: Property of trCl. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bnj1029	|- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> TrFo ( trCl ( X , A , R ) , A , R ) )

Proof of Theorem bnj1029

Dummy variables f i m n p y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 251	. 2 |- ( ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
2		biid 251	. 2 |- ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
3		biid 251	. 2 |- ( ( n e. ( om \ { (/) } ) /\ f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( n e. ( om \ { (/) } ) /\ f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
4		biid 251	. 2 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A /\ y e. trCl ( X , A , R ) /\ z e. pred ( y , A , R ) ) <-> ( R FrSe A /\ X e. A /\ y e. trCl ( X , A , R ) /\ z e. pred ( y , A , R ) ) )
5		biid 251	. 2 |- ( ( m e. om /\ n = suc m /\ p = suc n ) <-> ( m e. om /\ n = suc m /\ p = suc n ) )
6		biid 251	. 2 |- ( ( i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) )
7		biid 251	. 2 |- ( [. p / n ]. ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> [. p / n ]. ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
8		biid 251	. 2 |- ( [. p / n ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> [. p / n ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
9		biid 251	. 2 |- ( [. p / n ]. ( n e. ( om \ { (/) } ) /\ f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> [. p / n ]. ( n e. ( om \ { (/) } ) /\ f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
10		biid 251	. 2 |- ( [. ( f u. { <. n , U_ y e. ( f ` m ) pred ( y , A , R ) >. } ) / f ]. [. p / n ]. ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> [. ( f u. { <. n , U_ y e. ( f ` m ) pred ( y , A , R ) >. } ) / f ]. [. p / n ]. ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
11		biid 251	. 2 |- ( [. ( f u. { <. n , U_ y e. ( f ` m ) pred ( y , A , R ) >. } ) / f ]. [. p / n ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> [. ( f u. { <. n , U_ y e. ( f ` m ) pred ( y , A , R ) >. } ) / f ]. [. p / n ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
12		biid 251	. 2 |- ( [. ( f u. { <. n , U_ y e. ( f ` m ) pred ( y , A , R ) >. } ) / f ]. [. p / n ]. ( n e. ( om \ { (/) } ) /\ f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> [. ( f u. { <. n , U_ y e. ( f ` m ) pred ( y , A , R ) >. } ) / f ]. [. p / n ]. ( n e. ( om \ { (/) } ) /\ f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
13		eqid 2622	. 2 |- ( om \ { (/) } ) = ( om \ { (/) } )
14		eqid 2622	. 2 |- { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } = { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) }
15		eqid 2622	. 2 |- U_ y e. ( f ` m ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( f ` m ) pred ( y , A , R )
16		eqid 2622	. 2 |- ( f u. { <. n , U_ y e. ( f ` m ) pred ( y , A , R ) >. } ) = ( f u. { <. n , U_ y e. ( f ` m ) pred ( y , A , R ) >. } )
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	bnj907 31035	1 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> TrFo ( trCl ( X , A , R ) , A , R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   [.wsbc 3435   \ cdif 3571   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   omcom 7065   /\ w-bnj17 30752   predc-bnj14 30754   FrSe w-bnj15 30758   trClc-bnj18 30760   TrFow-bnj19 30762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-bnj17 30753  df-bnj14 30755  df-bnj13 30757  df-bnj15 30759  df-bnj18 30761  df-bnj19 30763

This theorem is referenced by:  bnj1125  31060