Theorem brbigcup 32005

Description: Binary relation over Bigcup. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
brbigcup.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brbigcup	|- ( A Bigcup B <-> U. A = B )

Proof of Theorem brbigcup

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relbigcup 32004	. . 3 |- Rel Bigcup
2	1	brrelexi 5158	. 2 |- ( A Bigcup B -> A e. _V )
3		brbigcup.1	. . . 4 |- B e. _V
4		eleq1 2689	. . . 4 |- ( U. A = B -> ( U. A e. _V <-> B e. _V ) )
5	3, 4	mpbiri 248	. . 3 |- ( U. A = B -> U. A e. _V )
6		uniexb 6973	. . 3 |- ( A e. _V <-> U. A e. _V )
7	5, 6	sylibr 224	. 2 |- ( U. A = B -> A e. _V )
8		breq1 4656	. . 3 |- ( x = A -> ( x Bigcup B <-> A Bigcup B ) )
9		unieq 4444	. . . 4 |- ( x = A -> U. x = U. A )
10	9	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( x = A -> ( U. x = B <-> U. A = B ) )
11		vex 3203	. . . . 5 |- x e. _V
12		df-bigcup 31965	. . . . 5 |- Bigcup = ( ( _V X. _V ) \ ran ( ( _V (x) _E ) /_\ ( ( _E o. _E ) (x) _V ) ) )
13		brxp 5147	. . . . . 6 |- ( x ( _V X. _V ) B <-> ( x e. _V /\ B e. _V ) )
14	11, 3, 13	mpbir2an 955	. . . . 5 |- x ( _V X. _V ) B
15		epel 5032	. . . . . . 7 |- ( y _E z <-> y e. z )
16	15	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. z e. x y _E z <-> E. z e. x y e. z )
17		vex 3203	. . . . . . 7 |- y e. _V
18	17, 11	coep 31641	. . . . . 6 |- ( y ( _E o. _E ) x <-> E. z e. x y _E z )
19		eluni2 4440	. . . . . 6 |- ( y e. U. x <-> E. z e. x y e. z )
20	16, 18, 19	3bitr4ri 293	. . . . 5 |- ( y e. U. x <-> y ( _E o. _E ) x )
21	11, 3, 12, 14, 20	brtxpsd3 32003	. . . 4 |- ( x Bigcup B <-> B = U. x )
22		eqcom 2629	. . . 4 |- ( B = U. x <-> U. x = B )
23	21, 22	bitri 264	. . 3 |- ( x Bigcup B <-> U. x = B )
24	8, 10, 23	vtoclbg 3267	. 2 |- ( A e. _V -> ( A Bigcup B <-> U. A = B ) )
25	2, 7, 24	pm5.21nii 368	1 |- ( A Bigcup B <-> U. A = B )

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   _E cep 5028   X. cxp 5112   o. ccom 5118   Bigcupcbigcup 31941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-symdif 3844  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-eprel 5029  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-txp 31961  df-bigcup 31965

This theorem is referenced by:  dfbigcup2  32006  fvbigcup  32009  ellimits  32017  brapply  32045  dfrdg4  32058