Theorem brcici 16460

Description: Prove that two objects are isomorphic by an explicit isomorphism. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cic.i	|- I = ( Iso ` C )
cic.b	|- B = ( Base ` C )
cic.c	|- ( ph -> C e. Cat )
cic.x	|- ( ph -> X e. B )
cic.y	|- ( ph -> Y e. B )
cic.f	|- ( ph -> F e. ( X I Y ) )

Assertion

Ref	Expression
brcici	|- ( ph -> X ( ~=c𝑐 ` C ) Y )

Proof of Theorem brcici

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cic.f	. . 3 |- ( ph -> F e. ( X I Y ) )
2		eleq1 2689	. . . 4 |- ( f = F -> ( f e. ( X I Y ) <-> F e. ( X I Y ) ) )
3	2	spcegv 3294	. . 3 |- ( F e. ( X I Y ) -> ( F e. ( X I Y ) -> E. f f e. ( X I Y ) ) )
4	1, 1, 3	sylc 65	. 2 |- ( ph -> E. f f e. ( X I Y ) )
5		cic.i	. . 3 |- I = ( Iso ` C )
6		cic.b	. . 3 |- B = ( Base ` C )
7		cic.c	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
8		cic.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
9		cic.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
10	5, 6, 7, 8, 9	cic 16459	. 2 |- ( ph -> ( X ( ~=c𝑐 ` C ) Y <-> E. f f e. ( X I Y ) ) )
11	4, 10	mpbird 247	1 |- ( ph -> X ( ~=c𝑐 ` C ) Y )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Catccat 16325   Iso ciso 16406   ~=c_𝑐 ccic 16455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-inv 16408  df-iso 16409  df-cic 16456

This theorem is referenced by:  cicref  16461  cicsym  16464  cictr  16465