MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cicsym Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem cicsym 16464
Description: Isomorphism is symmetric. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
cicsym |- ( ( C e. Cat /\ R ( ~=c𝑐 ` C ) S ) -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R )
Proof of Theorem cicsym
Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cicrcl 16463 . 2 |- ( ( C e. Cat /\ R ( ~=c𝑐 ` C ) S ) -> S e. ( Base ` C ) )
2 ciclcl 16462 . 2 |- ( ( C e. Cat /\ R ( ~=c𝑐 ` C ) S ) -> R e. ( Base ` C ) )
3 eqid 2622 . . . . 5 |- ( Iso ` C ) = ( Iso ` C )
4 eqid 2622 . . . . 5 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
5 simpl 473 . . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> C e. Cat )
6 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) -> R e. ( Base ` C ) )
76adantl 482 . . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> R e. ( Base ` C ) )
8 simpl 473 . . . . . 6 |- ( ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) -> S e. ( Base ` C ) )
98adantl 482 . . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> S e. ( Base ` C ) )
103, 4, 5, 7, 9cic 16459 . . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( R ( ~=c𝑐 ` C ) S <-> E. f f e. ( R ( Iso ` C ) S ) ) )
11 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- (Inv ` C ) = (Inv ` C )
124, 11, 5, 7, 9, 3isoval 16425 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( R ( Iso ` C ) S ) = dom ( R (Inv ` C ) S ) )
134, 11, 5, 9, 7invsym2 16423 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> `' ( S (Inv ` C ) R ) = ( R (Inv ` C ) S ) )
1413eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( R (Inv ` C ) S ) = `' ( S (Inv ` C ) R ) )
1514dmeqd 5326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> dom ( R (Inv ` C ) S ) = dom `' ( S (Inv ` C ) R ) )
16 df-rn 5125 . . . . . . . . . . . 12 |- ran ( S (Inv ` C ) R ) = dom `' ( S (Inv ` C ) R )
1715, 16syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> dom ( R (Inv ` C ) S ) = ran ( S (Inv ` C ) R ) )
1812, 17eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( R ( Iso ` C ) S ) = ran ( S (Inv ` C ) R ) )
1918eleq2d 2687 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( f e. ( R ( Iso ` C ) S ) <-> f e. ran ( S (Inv ` C ) R ) ) )
20 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- f e. _V
21 elrng 5314 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. _V -> ( f e. ran ( S (Inv ` C ) R ) <-> E. g g ( S (Inv ` C ) R ) f ) )
2220, 21mp1i 13 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( f e. ran ( S (Inv ` C ) R ) <-> E. g g ( S (Inv ` C ) R ) f ) )
2319, 22bitrd 268 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( f e. ( R ( Iso ` C ) S ) <-> E. g g ( S (Inv ` C ) R ) f ) )
24 df-br 4654 . . . . . . . . . 10 |- ( g ( S (Inv ` C ) R ) f <-> <. g , f >. e. ( S (Inv ` C ) R ) )
2524exbii 1774 . . . . . . . . 9 |- ( E. g g ( S (Inv ` C ) R ) f <-> E. g <. g , f >. e. ( S (Inv ` C ) R ) )
26 vex 3203 . . . . . . . . . . . . 13 |- g e. _V
2726, 20opeldm 5328 . . . . . . . . . . . 12 |- ( <. g , f >. e. ( S (Inv ` C ) R ) -> g e. dom ( S (Inv ` C ) R ) )
284, 11, 5, 9, 7, 3isoval 16425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( S ( Iso ` C ) R ) = dom ( S (Inv ` C ) R ) )
2928eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> dom ( S (Inv ` C ) R ) = ( S ( Iso ` C ) R ) )
3029eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( g e. dom ( S (Inv ` C ) R ) <-> g e. ( S ( Iso ` C ) R ) ) )
315adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( S ( Iso ` C ) R ) ) -> C e. Cat )
329adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( S ( Iso ` C ) R ) ) -> S e. ( Base ` C ) )
337adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( S ( Iso ` C ) R ) ) -> R e. ( Base ` C ) )
34 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( S ( Iso ` C ) R ) ) -> g e. ( S ( Iso ` C ) R ) )
353, 4, 31, 32, 33, 34brcici 16460 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( S ( Iso ` C ) R ) ) -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R )
3635ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( g e. ( S ( Iso ` C ) R ) -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R ) )
3730, 36sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( g e. dom ( S (Inv ` C ) R ) -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R ) )
3837com12 32 . . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. dom ( S (Inv ` C ) R ) -> ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R ) )
3927, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( <. g , f >. e. ( S (Inv ` C ) R ) -> ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R ) )
4039exlimiv 1858 . . . . . . . . . 10 |- ( E. g <. g , f >. e. ( S (Inv ` C ) R ) -> ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R ) )
4140com12 32 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( E. g <. g , f >. e. ( S (Inv ` C ) R ) -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R ) )
4225, 41syl5bi 232 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( E. g g ( S (Inv ` C ) R ) f -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R ) )
4323, 42sylbid 230 . . . . . . 7 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( f e. ( R ( Iso ` C ) S ) -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R ) )
4443com12 32 . . . . . 6 |- ( f e. ( R ( Iso ` C ) S ) -> ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R ) )
4544exlimiv 1858 . . . . 5 |- ( E. f f e. ( R ( Iso ` C ) S ) -> ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R ) )
4645com12 32 . . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( E. f f e. ( R ( Iso ` C ) S ) -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R ) )
4710, 46sylbid 230 . . 3 |- ( ( C e. Cat /\ ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) ) -> ( R ( ~=c𝑐 ` C ) S -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R ) )
4847impancom 456 . 2 |- ( ( C e. Cat /\ R ( ~=c𝑐 ` C ) S ) -> ( ( S e. ( Base ` C ) /\ R e. ( Base ` C ) ) -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R ) )
491, 2, 48mp2and 715 1 |- ( ( C e. Cat /\ R ( ~=c𝑐 ` C ) S ) -> S ( ~=c𝑐 ` C ) R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Catccat 16325  Invcinv 16405   Iso ciso 16406   ~=c𝑐 ccic 16455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-sect 16407  df-inv 16408  df-iso 16409  df-cic 16456
This theorem is referenced by:  cicer  16466  initoeu2  16666
  Copyright terms: Public domain W3C validator