MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cictr Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem cictr 16465
Description: Isomorphism is transitive. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
cictr |- ( ( C e. Cat /\ R ( ~=c𝑐 ` C ) S /\ S ( ~=c𝑐 ` C ) T ) -> R ( ~=c𝑐 ` C ) T )
Proof of Theorem cictr
Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ciclcl 16462 . . . . . 6 |- ( ( C e. Cat /\ R ( ~=c𝑐 ` C ) S ) -> R e. ( Base ` C ) )
2 cicrcl 16463 . . . . . 6 |- ( ( C e. Cat /\ R ( ~=c𝑐 ` C ) S ) -> S e. ( Base ` C ) )
31, 2jca 554 . . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ R ( ~=c𝑐 ` C ) S ) -> ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) )
43ex 450 . . . 4 |- ( C e. Cat -> ( R ( ~=c𝑐 ` C ) S -> ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) ) )
5 cicrcl 16463 . . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ S ( ~=c𝑐 ` C ) T ) -> T e. ( Base ` C ) )
65ex 450 . . . 4 |- ( C e. Cat -> ( S ( ~=c𝑐 ` C ) T -> T e. ( Base ` C ) ) )
74, 6anim12d 586 . . 3 |- ( C e. Cat -> ( ( R ( ~=c𝑐 ` C ) S /\ S ( ~=c𝑐 ` C ) T ) -> ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) )
873impib 1262 . 2 |- ( ( C e. Cat /\ R ( ~=c𝑐 ` C ) S /\ S ( ~=c𝑐 ` C ) T ) -> ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) )
9 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( Iso ` C ) = ( Iso ` C )
10 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
11 simpl 473 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> C e. Cat )
12 simpll 790 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) -> R e. ( Base ` C ) )
1312adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> R e. ( Base ` C ) )
14 simplr 792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) -> S e. ( Base ` C ) )
1514adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> S e. ( Base ` C ) )
169, 10, 11, 13, 15cic 16459 . . . . . . 7 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> ( R ( ~=c𝑐 ` C ) S <-> E. f f e. ( R ( Iso ` C ) S ) ) )
17 simprr 796 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> T e. ( Base ` C ) )
189, 10, 11, 15, 17cic 16459 . . . . . . 7 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> ( S ( ~=c𝑐 ` C ) T <-> E. g g e. ( S ( Iso ` C ) T ) ) )
1916, 18anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( R ( ~=c𝑐 ` C ) S /\ S ( ~=c𝑐 ` C ) T ) <-> ( E. f f e. ( R ( Iso ` C ) S ) /\ E. g g e. ( S ( Iso ` C ) T ) ) ) )
2011adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g e. ( S ( Iso ` C ) T ) /\ f e. ( R ( Iso ` C ) S ) ) /\ ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) ) -> C e. Cat )
2113adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g e. ( S ( Iso ` C ) T ) /\ f e. ( R ( Iso ` C ) S ) ) /\ ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) ) -> R e. ( Base ` C ) )
2217adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g e. ( S ( Iso ` C ) T ) /\ f e. ( R ( Iso ` C ) S ) ) /\ ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) ) -> T e. ( Base ` C ) )
23 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
2415adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g e. ( S ( Iso ` C ) T ) /\ f e. ( R ( Iso ` C ) S ) ) /\ ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) ) -> S e. ( Base ` C ) )
25 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g e. ( S ( Iso ` C ) T ) /\ f e. ( R ( Iso ` C ) S ) ) /\ ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) ) -> f e. ( R ( Iso ` C ) S ) )
26 simpll 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g e. ( S ( Iso ` C ) T ) /\ f e. ( R ( Iso ` C ) S ) ) /\ ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) ) -> g e. ( S ( Iso ` C ) T ) )
2710, 23, 9, 20, 21, 24, 22, 25, 26isoco 16437 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g e. ( S ( Iso ` C ) T ) /\ f e. ( R ( Iso ` C ) S ) ) /\ ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) ) -> ( g ( <. R , S >. (comp ` C ) T ) f ) e. ( R ( Iso ` C ) T ) )
289, 10, 20, 21, 22, 27brcici 16460 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g e. ( S ( Iso ` C ) T ) /\ f e. ( R ( Iso ` C ) S ) ) /\ ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) ) -> R ( ~=c𝑐 ` C ) T )
2928ex 450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. ( S ( Iso ` C ) T ) /\ f e. ( R ( Iso ` C ) S ) ) -> ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> R ( ~=c𝑐 ` C ) T ) )
3029ex 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( S ( Iso ` C ) T ) -> ( f e. ( R ( Iso ` C ) S ) -> ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> R ( ~=c𝑐 ` C ) T ) ) )
3130exlimiv 1858 . . . . . . . . . 10 |- ( E. g g e. ( S ( Iso ` C ) T ) -> ( f e. ( R ( Iso ` C ) S ) -> ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> R ( ~=c𝑐 ` C ) T ) ) )
3231com12 32 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( R ( Iso ` C ) S ) -> ( E. g g e. ( S ( Iso ` C ) T ) -> ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> R ( ~=c𝑐 ` C ) T ) ) )
3332exlimiv 1858 . . . . . . . 8 |- ( E. f f e. ( R ( Iso ` C ) S ) -> ( E. g g e. ( S ( Iso ` C ) T ) -> ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> R ( ~=c𝑐 ` C ) T ) ) )
3433imp 445 . . . . . . 7 |- ( ( E. f f e. ( R ( Iso ` C ) S ) /\ E. g g e. ( S ( Iso ` C ) T ) ) -> ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> R ( ~=c𝑐 ` C ) T ) )
3534com12 32 . . . . . 6 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( E. f f e. ( R ( Iso ` C ) S ) /\ E. g g e. ( S ( Iso ` C ) T ) ) -> R ( ~=c𝑐 ` C ) T ) )
3619, 35sylbid 230 . . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( R ( ~=c𝑐 ` C ) S /\ S ( ~=c𝑐 ` C ) T ) -> R ( ~=c𝑐 ` C ) T ) )
3736ex 450 . . . 4 |- ( C e. Cat -> ( ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) -> ( ( R ( ~=c𝑐 ` C ) S /\ S ( ~=c𝑐 ` C ) T ) -> R ( ~=c𝑐 ` C ) T ) ) )
3837com23 86 . . 3 |- ( C e. Cat -> ( ( R ( ~=c𝑐 ` C ) S /\ S ( ~=c𝑐 ` C ) T ) -> ( ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) -> R ( ~=c𝑐 ` C ) T ) ) )
39383impib 1262 . 2 |- ( ( C e. Cat /\ R ( ~=c𝑐 ` C ) S /\ S ( ~=c𝑐 ` C ) T ) -> ( ( ( R e. ( Base ` C ) /\ S e. ( Base ` C ) ) /\ T e. ( Base ` C ) ) -> R ( ~=c𝑐 ` C ) T ) )
408, 39mpd 15 1 |- ( ( C e. Cat /\ R ( ~=c𝑐 ` C ) S /\ S ( ~=c𝑐 ` C ) T ) -> R ( ~=c𝑐 ` C ) T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   E.wex 1704   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  compcco 15953   Catccat 16325   Iso ciso 16406   ~=c𝑐 ccic 16455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-cat 16329  df-cid 16330  df-sect 16407  df-inv 16408  df-iso 16409  df-cic 16456
This theorem is referenced by:  cicer  16466  nzerooringczr  42072
  Copyright terms: Public domain W3C validator