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Theorem 2ndcdisj 21259
Description: Any disjoint family of open sets in a second-countable space is countable. (The sets are required to be nonempty because otherwise there could be many empty sets in the family.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj |- ( ( J e. 2ndc /\ A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om )
Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, J
Allowed substitution hints:   B( x)   J( y)
Proof of Theorem 2ndcdisj
Dummy variables f b w z n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 21249 . . 3 |- ( J e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) )
2 omex 8540 . . . . . . 7 |- om e. _V
32brdom 7967 . . . . . 6 |- ( b ~<_ om <-> E. f f : b -1-1-> om )
4 ssrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ ran f
5 f1f 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : b -1-1-> om -> f : b --> om )
6 frn 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : b --> om -> ran f C_ om )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : b -1-1-> om -> ran f C_ om )
87adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ran f C_ om )
94, 8syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ om )
109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ om )
11 eldifsn 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> ( B e. ( topGen ` b ) /\ B =/= (/) ) )
12 n0 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B =/= (/) <-> E. y y e. B )
13 tg2 20769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ y e. B ) -> E. z e. b ( y e. z /\ z C_ B ) )
14 omsson 7069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- om C_ On
159, 14syl6ss 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On )
1615ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On )
17 f1fn 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( f : b -1-1-> om -> f Fn b )
1817ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> f Fn b )
19 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. b )
20 fnfvelrn 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( f Fn b /\ z e. b ) -> ( f ` z ) e. ran f )
2118, 19, 20syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( f ` z ) e. ran f )
22 f1f1orn 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( f : b -1-1-> om -> f : b -1-1-onto-> ran f )
2322ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> f : b -1-1-onto-> ran f )
24 f1ocnvfv1 6532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( f : b -1-1-onto-> ran f /\ z e. b ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) = z )
2523, 19, 24syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) = z )
26 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z C_ B )
27 selpw 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( z e. ~P B <-> z C_ B )
2826, 27sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. ~P B )
29 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> y e. z )
30 ne0i 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( y e. z -> z =/= (/) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z =/= (/) )
32 eldifsn 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( z e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( z e. ~P B /\ z =/= (/) ) )
3328, 31, 32sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. ( ~P B \ { (/) } ) )
3425, 33eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
35 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( n = ( f ` z ) -> ( `' f ` n ) = ( `' f ` ( f ` z ) ) )
3635eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( n = ( f ` z ) -> ( ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
3736rspcev 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( f ` z ) e. ran f /\ ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) -> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
3821, 34, 37syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
39 rabn0 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) <-> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
4038, 39sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) )
41 onint 6995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On /\ { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
4216, 40, 41syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
4342rexlimdvaa 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. b ( y e. z /\ z C_ B ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4413, 43syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ y e. B ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4544expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( y e. B -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4645exlimdv 1861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( E. y y e. B -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4712, 46syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( B =/= (/) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4847expimpd 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ B =/= (/) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4911, 48syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
5049impr 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
5110, 50sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
5251expr 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om ) )
5352ralimdva 2962 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om ) )
5453imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
5554adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
56 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) = ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
5756fmpt 6381 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om <-> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om )
5855, 57sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om )
59 neeq1 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( `' f ` z ) = if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( ( `' f ` z ) =/= (/) <-> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) ) )
60 neeq1 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1o = if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( 1o =/= (/) <-> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) ) )
61 1n0 7575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1o =/= (/)
6259, 60, 61elimhyp 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/)
63 n0 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) <-> E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) )
6462, 63mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o )
65 19.29r 1802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) )
6664, 65mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y E* x e. A y e. B -> E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) )
67 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
6850, 67syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
6968imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
70 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( n = z -> ( `' f ` n ) = ( `' f ` z ) )
7170eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( n = z -> ( ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
7271elrab 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> ( z e. ran f /\ ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
7372simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
7469, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
75 eldifsn 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( ( `' f ` z ) e. ~P B /\ ( `' f ` z ) =/= (/) ) )
7674, 75sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( ( `' f ` z ) e. ~P B /\ ( `' f ` z ) =/= (/) ) )
7776simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) =/= (/) )
7877iftrued 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) = ( `' f ` z ) )
7976simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) e. ~P B )
8079elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) C_ B )
8178, 80eqsstrd 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) C_ B )
8281sseld 3602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) )
8382exp31 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) )
8483com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) )
8584exp4a 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( x e. A -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) ) )
8685com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( x e. A -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) ) ) )
8786imp31 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) )
8887ralimdva 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) )
8988imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) )
9089an32s 846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) )
91 rmoim 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) -> ( E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> ( E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9392expimpd 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9493exlimdv 1861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9566, 94syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( A. y E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9695impr 649 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
97 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x w
98 nfmpt1 4747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
99 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x z
10097, 98, 99nfbr 4699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z
101 nfv 1843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ w ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
102 breq1 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = x -> ( w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z ) )
103 df-br 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> <. x , z >. e. ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
104 df-mpt 4730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) = { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) }
105104eleq2i 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , z >. e. ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) <-> <. x , z >. e. { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) } )
106 opabid 4982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , z >. e. { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) } <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
107103, 105, 1063bitri 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
108102, 107syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = x -> ( w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) )
109100, 101, 108cbvmo 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> E* x ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
110 df-rmo 2920 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> E* x ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
111109, 110bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
11296, 111sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z )
113112alrimiv 1855 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A. z E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z )
114 dff12 6100 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om <-> ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om /\ A. z E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z ) )
11558, 113, 114sylanbrc 698 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om )
116 f1domg 7975 . . . . . . . . . . 11 |- ( om e. _V -> ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om -> A ~<_ om ) )
1172, 115, 116mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A ~<_ om )
118117ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
119 difeq1 3721 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) = ( J \ { (/) } ) )
120119eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> B e. ( J \ { (/) } ) ) )
121120ralbidv 2986 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) ) )
122121anbi1d 741 . . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) <-> ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) )
123122imbi1d 331 . . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) <-> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
124118, 123syl5ibcom 235 . . . . . . . 8 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
125124ex 450 . . . . . . 7 |- ( b e. TopBases -> ( f : b -1-1-> om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
126125exlimdv 1861 . . . . . 6 |- ( b e. TopBases -> ( E. f f : b -1-1-> om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
1273, 126syl5bi 232 . . . . 5 |- ( b e. TopBases -> ( b ~<_ om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
128127impd 447 . . . 4 |- ( b e. TopBases -> ( ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
129128rexlimiv 3027 . . 3 |- ( E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
1301, 129sylbi 207 . 2 |- ( J e. 2ndc -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
1311303impib 1262 1 |- ( ( J e. 2ndc /\ A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E*wmo 2471   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E*wrmo 2915   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   omcom 7065   1oc1o 7553   ~<_ cdom 7953   topGenctg 16098   TopBasesctb 20749   2ndcc2ndc 21241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-dom 7957  df-topgen 16104  df-2ndc 21243
This theorem is referenced by:  2ndcdisj2  21260
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