Theorem birthdaylem3 24680

Description: For general N and K, upper-bound the fraction of injective functions from 1 ... K to 1 ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	|- S = { f | f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
birthday.t	|- T = { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }

Assertion

Ref	Expression
birthdaylem3	|- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( # ` T ) / ( # ` S ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )

Distinct variable groups:   f, K   f, N

Allowed substitution hints:   S( f)   T( f)

Proof of Theorem birthdaylem3

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		birthday.t	. . . . . . . 8 |- T = { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
2		abn0 3954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } =/= (/) <-> E. f f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) )
3		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) e. _V
4	3	brdom 7967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) <-> E. f f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) )
5	2, 4	bitr4i 267	. . . . . . . . . . 11 |- ( { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } =/= (/) <-> ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) )
6		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... K ) ) = K )
7		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
8		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
10	6, 9	breqan12d 4669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( # ` ( 1 ... K ) ) <_ ( # ` ( 1 ... N ) ) <-> K <_ N ) )
11		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( 1 ... K ) e. Fin )
12		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
13		hashdom 13168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... K ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> ( ( # ` ( 1 ... K ) ) <_ ( # ` ( 1 ... N ) ) <-> ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( # ` ( 1 ... K ) ) <_ ( # ` ( 1 ... N ) ) <-> ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) ) )
15		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
16		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. RR )
17		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
18	15, 16, 17	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
19	10, 14, 18	3bitr3d 298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) <-> -. N < K ) )
20	5, 19	syl5bb 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } =/= (/) <-> -. N < K ) )
21	20	necon4abid 2834	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } = (/) <-> N < K ) )
22	21	biimpar 502	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } = (/) )
23	1, 22	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> T = (/) )
24	23	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( # ` T ) = ( # ` (/) ) )
25		hash0 13158	. . . . . 6 |- ( # ` (/) ) = 0
26	24, 25	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( # ` T ) = 0 )
27	26	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( ( # ` T ) / ( # ` S ) ) = ( 0 / ( # ` S ) ) )
28		birthday.s	. . . . . . . . . 10 |- S = { f | f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
29	28, 1	birthdaylem1 24678	. . . . . . . . 9 |- ( T C_ S /\ S e. Fin /\ ( N e. NN -> S =/= (/) ) )
30	29	simp3i 1072	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> S =/= (/) )
31	30	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> S =/= (/) )
32	29	simp2i 1071	. . . . . . . 8 |- S e. Fin
33		hashnncl 13157	. . . . . . . 8 |- ( S e. Fin -> ( ( # ` S ) e. NN <-> S =/= (/) ) )
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( # ` S ) e. NN <-> S =/= (/) )
35	31, 34	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( # ` S ) e. NN )
36	35	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( # ` S ) e. CC )
37	35	nnne0d 11065	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( # ` S ) =/= 0 )
38	36, 37	div0d 10800	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( 0 / ( # ` S ) ) = 0 )
39	27, 38	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( ( # ` T ) / ( # ` S ) ) = 0 )
40	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> K e. RR )
41	40	resqcld 13035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K ^ 2 ) e. RR )
42	41, 40	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( K ^ 2 ) - K ) e. RR )
43	42	rehalfcld 11279	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) e. RR )
44		nndivre 11056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
45	43, 44	sylancom 701	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
46	45	renegcld 10457	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
47	46	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
48	47	rpefcld 14835	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) e. RR+ )
49	48	rpge0d 11876	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> 0 <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )
50	39, 49	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( ( # ` T ) / ( # ` S ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )
51		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N e. NN )
52		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K <_ N )
53		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K e. NN0 )
54		nn0uz 11722	. . . . . . 7 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
55	53, 54	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
56		nnz 11399	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
57	56	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N e. ZZ )
58		elfz5 12334	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
59	55, 57, 58	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
60	52, 59	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K e. ( 0 ... N ) )
61	28, 1	birthdaylem2 24679	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( # ` T ) / ( # ` S ) ) = ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) )
62	51, 60, 61	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( ( # ` T ) / ( # ` S ) ) = ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) )
63		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( 0 ... ( K - 1 ) ) e. Fin )
64		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> k e. NN0 )
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
66	65	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. RR )
67	53	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K e. RR )
68		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. RR -> ( K - 1 ) e. RR )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( K - 1 ) e. RR )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. RR )
71	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. NN )
72	71	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. RR )
73		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> k <_ ( K - 1 ) )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k <_ ( K - 1 ) )
75	51	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N e. RR )
76	67	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( K - 1 ) < K )
77	69, 67, 75, 76, 52	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( K - 1 ) < N )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) < N )
79	66, 70, 72, 74, 78	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k < N )
80	71	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. CC )
81	80	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( N x. 1 ) = N )
82	79, 81	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k < ( N x. 1 ) )
83		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
84	71	nngt0d 11064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 < N )
85		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. RR /\ 1 e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( k / N ) < 1 <-> k < ( N x. 1 ) ) )
86	66, 83, 72, 84, 85	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( k / N ) < 1 <-> k < ( N x. 1 ) ) )
87	82, 86	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( k / N ) < 1 )
88	66, 71	nndivred 11069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( k / N ) e. RR )
89		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
90		difrp 11868	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k / N ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( k / N ) < 1 <-> ( 1 - ( k / N ) ) e. RR+ ) )
91	88, 89, 90	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( k / N ) < 1 <-> ( 1 - ( k / N ) ) e. RR+ ) )
92	87, 91	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( 1 - ( k / N ) ) e. RR+ )
93	92	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) e. RR )
94	88	renegcld 10457	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> -u ( k / N ) e. RR )
95		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> 0 <_ k )
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 <_ k )
97		divge0 10892	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. RR /\ 0 <_ k ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> 0 <_ ( k / N ) )
98	66, 96, 72, 84, 97	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( k / N ) )
99	88, 98, 87	eflegeo 14851	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( 1 - ( k / N ) ) ) )
100	88	reefcld 14818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` ( k / N ) ) e. RR )
101		efgt0 14833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k / N ) e. RR -> 0 < ( exp ` ( k / N ) ) )
102	88, 101	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 < ( exp ` ( k / N ) ) )
103	92	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( 1 - ( k / N ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 - ( k / N ) ) ) )
104		lerec2 10911	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( exp ` ( k / N ) ) e. RR /\ 0 < ( exp ` ( k / N ) ) ) /\ ( ( 1 - ( k / N ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 - ( k / N ) ) ) ) -> ( ( exp ` ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( 1 - ( k / N ) ) ) <-> ( 1 - ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) ) )
105	100, 102, 103, 104	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( exp ` ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( 1 - ( k / N ) ) ) <-> ( 1 - ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) ) )
106	99, 105	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( 1 - ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) )
107	92	reeflogd 24370	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) = ( 1 - ( k / N ) ) )
108	88	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( k / N ) e. CC )
109		efneg 14828	. . . . . . . . 9 |- ( ( k / N ) e. CC -> ( exp ` -u ( k / N ) ) = ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) )
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` -u ( k / N ) ) = ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) )
111	106, 107, 110	3brtr4d 4685	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( k / N ) ) )
112		efle 14848	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) e. RR /\ -u ( k / N ) e. RR ) -> ( ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( k / N ) <-> ( exp ` ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( k / N ) ) ) )
113	93, 94, 112	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( k / N ) <-> ( exp ` ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( k / N ) ) ) )
114	111, 113	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( k / N ) )
115	63, 93, 94, 114	fsumle 14531	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -u ( k / N ) )
116	63, 108	fsumneg 14519	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -u ( k / N ) = -u sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( k / N ) )
117	51	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N e. CC )
118	66	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. CC )
119		nnne0 11053	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
120	119	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N =/= 0 )
121	63, 117, 118, 120	fsumdivc 14518	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) k / N ) = sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( k / N ) )
122		arisum2 14593	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) k = ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) )
123	53, 122	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) k = ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) )
124	123	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) k / N ) = ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
125	121, 124	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( k / N ) = ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
126	125	negeqd 10275	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> -u sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( k / N ) = -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
127	116, 126	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -u ( k / N ) = -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
128	115, 127	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
129	63, 93	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) e. RR )
130	46	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
131		efle 14848	. . . . 5 |- ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) e. RR /\ -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) <-> ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) ) )
132	129, 130, 131	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) <-> ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) ) )
133	128, 132	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )
134	62, 133	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( ( # ` T ) / ( # ` S ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )
135	16	adantl 482	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. RR )
136	50, 134, 135, 40	ltlecasei 10145	1 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( # ` T ) / ( # ` S ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   ^cexp 12860   #chash 13117   sum_csu 14416   expce 14792   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  birthday  24681