Theorem brsiga 30246

Description: The Borel Algebra on real numbers is a Borel sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
brsiga	|- 𝔅ℝ e. (sigaGen " Top )

Proof of Theorem brsiga

Dummy variables x s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-brsiga 30245	. 2 |- 𝔅ℝ = (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) )
2		retop 22565	. . 3 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
3		df-sigagen 30202	. . . . 5 |- sigaGen = ( x e. _V |-> |^| { s e. (sigAlgebra ` U. x ) | x C_ s } )
4	3	funmpt2 5927	. . . 4 |- Fun sigaGen
5		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) e. _V
6		sigagensiga 30204	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) e. _V -> (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) e. (sigAlgebra ` U. ( topGen ` ran (,) ) ) )
7		elrnsiga 30189	. . . . . 6 |- ( (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) e. (sigAlgebra ` U. ( topGen ` ran (,) ) ) -> (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) e. U. ran sigAlgebra )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . 5 |- (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) e. U. ran sigAlgebra
9		0elsiga 30177	. . . . 5 |- ( (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) e. U. ran sigAlgebra -> (/) e. (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
10		elfvdm 6220	. . . . 5 |- ( (/) e. (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( topGen ` ran (,) ) e. dom sigaGen )
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . 4 |- ( topGen ` ran (,) ) e. dom sigaGen
12		funfvima 6492	. . . 4 |- ( ( Fun sigaGen /\ ( topGen ` ran (,) ) e. dom sigaGen ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top -> (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) e. (sigaGen " Top ) ) )
13	4, 11, 12	mp2an 708	. . 3 |- ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top -> (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) e. (sigaGen " Top ) )
14	2, 13	ax-mp 5	. 2 |- (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) e. (sigaGen " Top )
15	1, 14	eqeltri 2697	1 |- 𝔅ℝ e. (sigaGen " Top )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |^|cint 4475   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   Topctop 20698  sigAlgebracsiga 30170  sigaGencsigagen 30201  𝔅_ℝcbrsiga 30244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-brsiga 30245

This theorem is referenced by: (None)