Theorem brwdomn0 8474

Description: Weak dominance over nonempty sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brwdomn0	|- ( X =/= (/) -> ( X ~<_* Y <-> E. z z : Y -onto-> X ) )

Distinct variable groups:   z, X   z, Y

Proof of Theorem brwdomn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 8471	. . . 4 |- Rel ~<_*
2	1	brrelex2i 5159	. . 3 |- ( X ~<_* Y -> Y e. _V )
3	2	a1i 11	. 2 |- ( X =/= (/) -> ( X ~<_* Y -> Y e. _V ) )
4		fof 6115	. . . . . 6 |- ( z : Y -onto-> X -> z : Y --> X )
5		fdm 6051	. . . . . 6 |- ( z : Y --> X -> dom z = Y )
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( z : Y -onto-> X -> dom z = Y )
7		vex 3203	. . . . . 6 |- z e. _V
8	7	dmex 7099	. . . . 5 |- dom z e. _V
9	6, 8	syl6eqelr 2710	. . . 4 |- ( z : Y -onto-> X -> Y e. _V )
10	9	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. z z : Y -onto-> X -> Y e. _V )
11	10	a1i 11	. 2 |- ( X =/= (/) -> ( E. z z : Y -onto-> X -> Y e. _V ) )
12		brwdom 8472	. . . 4 |- ( Y e. _V -> ( X ~<_* Y <-> ( X = (/) \/ E. z z : Y -onto-> X ) ) )
13		df-ne 2795	. . . . . 6 |- ( X =/= (/) <-> -. X = (/) )
14		biorf 420	. . . . . 6 |- ( -. X = (/) -> ( E. z z : Y -onto-> X <-> ( X = (/) \/ E. z z : Y -onto-> X ) ) )
15	13, 14	sylbi 207	. . . . 5 |- ( X =/= (/) -> ( E. z z : Y -onto-> X <-> ( X = (/) \/ E. z z : Y -onto-> X ) ) )
16	15	bicomd 213	. . . 4 |- ( X =/= (/) -> ( ( X = (/) \/ E. z z : Y -onto-> X ) <-> E. z z : Y -onto-> X ) )
17	12, 16	sylan9bbr 737	. . 3 |- ( ( X =/= (/) /\ Y e. _V ) -> ( X ~<_* Y <-> E. z z : Y -onto-> X ) )
18	17	ex 450	. 2 |- ( X =/= (/) -> ( Y e. _V -> ( X ~<_* Y <-> E. z z : Y -onto-> X ) ) )
19	3, 11, 18	pm5.21ndd 369	1 |- ( X =/= (/) -> ( X ~<_* Y <-> E. z z : Y -onto-> X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ~<_^* cwdom 8462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-wdom 8464

This theorem is referenced by:  brwdom2  8478  wdomtr  8480  wdompwdom  8483  canthwdom  8484  wdomfil  8884  fin1a2lem7  9228