Theorem cdleme25cl 35645

Description: Show closure of the unique element in cdleme25c 35643. (Contributed by NM, 2-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme24.b	|- B = ( Base ` K )
cdleme24.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdleme24.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdleme24.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme24.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdleme24.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdleme24.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme24.f	|- F = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
cdleme24.n	|- N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ s ) ./\ W ) ) )
cdleme25cl.i	|- I = ( iota_ u e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = N ) )

Assertion

Ref	Expression
cdleme25cl	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> I e. B )

Distinct variable groups:   u, s, A   B, s, u   H, s   .\/ , s, u   K, s   .<_ , s, u   ./\ , s, u   P, s, u   Q, s, u   R, s, u   W, s, u   u, N   U, s, u

Allowed substitution hints:   F( u, s)   H( u)   I( u, s)   K( u)   N( s)

Proof of Theorem cdleme25cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme25cl.i	. 2 |- I = ( iota_ u e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = N ) )
2		cdleme24.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
3		cdleme24.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
4		cdleme24.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
5		cdleme24.m	. . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
6		cdleme24.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
7		cdleme24.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
8		cdleme24.u	. . . 4 |- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
9		cdleme24.f	. . . 4 |- F = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
10		cdleme24.n	. . . 4 |- N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ s ) ./\ W ) ) )
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cdleme25c 35643	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> E! u e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = N ) )
12		riotacl 6625	. . 3 |- ( E! u e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = N ) -> ( iota_ u e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = N ) ) e. B )
13	11, 12	syl 17	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( iota_ u e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = N ) ) e. B )
14	1, 13	syl5eqel 2705	1 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> I e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E!wreu 2914   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   meetcmee 16945   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274

This theorem is referenced by:  cdleme26e  35647  cdleme26eALTN  35649  cdleme26fALTN  35650  cdleme26f  35651  cdleme26f2ALTN  35652  cdleme26f2  35653  cdleme27cl  35654  cdlemefs27cl  35701  cdlemefs32sn1aw  35702  cdleme43fsv1snlem  35708  cdleme41sn3a  35721  cdleme40m  35755  cdleme40n  35756