Theorem cdlemg1cex 35876

Description: Any translation is one of our F s. TODO: fix comment, move to its own block maybe? Would this help for cdlemf 35851? (Contributed by NM, 17-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg1c.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg1c.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg1c.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg1c.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
cdlemg1cex	|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( F e. T <-> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, p, q, A   f, F, p, q   f, H, p, q   f, K, p, q   .<_ , f, p, q   T, f, p, q   f, W, p, q

Proof of Theorem cdlemg1cex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg1c.l	. . . . . . . 8 |- .<_ = ( le ` K )
2		cdlemg1c.a	. . . . . . . 8 |- A = ( Atoms ` K )
3		cdlemg1c.h	. . . . . . . 8 |- H = ( LHyp ` K )
4		cdlemg1c.t	. . . . . . . 8 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5	1, 2, 3, 4	ltrnel 35425	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> ( ( F ` p ) e. A /\ -. ( F ` p ) .<_ W ) )
6	5	3expa 1265	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> ( ( F ` p ) e. A /\ -. ( F ` p ) .<_ W ) )
7	6	simpld 475	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> ( F ` p ) e. A )
8		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> -. p .<_ W )
9	6	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> -. ( F ` p ) .<_ W )
10		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
11		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> ( p e. A /\ -. p .<_ W ) )
12		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> F e. T )
13	1, 2, 3, 4	cdlemeiota 35873	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ F e. T ) -> F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = ( F ` p ) ) )
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = ( F ` p ) ) )
15		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( q = ( F ` p ) -> ( q .<_ W <-> ( F ` p ) .<_ W ) )
16	15	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( q = ( F ` p ) -> ( -. q .<_ W <-> -. ( F ` p ) .<_ W ) )
17		eqeq2 2633	. . . . . . . . 9 |- ( q = ( F ` p ) -> ( ( f ` p ) = q <-> ( f ` p ) = ( F ` p ) ) )
18	17	riotabidv 6613	. . . . . . . 8 |- ( q = ( F ` p ) -> ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = ( F ` p ) ) )
19	18	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( q = ( F ` p ) -> ( F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) <-> F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = ( F ` p ) ) ) )
20	16, 19	3anbi23d 1402	. . . . . 6 |- ( q = ( F ` p ) -> ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) <-> ( -. p .<_ W /\ -. ( F ` p ) .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = ( F ` p ) ) ) ) )
21	20	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( F ` p ) e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. ( F ` p ) .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = ( F ` p ) ) ) ) -> E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) )
22	7, 8, 9, 14, 21	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) )
23	1, 2, 3	lhpexnle 35292	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E. p e. A -. p .<_ W )
24	23	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> E. p e. A -. p .<_ W )
25	22, 24	reximddv 3018	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) )
26	25	ex 450	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( F e. T -> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) )
27		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
28		simp2l 1087	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> p e. A )
29		simp31 1097	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> -. p .<_ W )
30	28, 29	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> ( p e. A /\ -. p .<_ W ) )
31		simp2r 1088	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> q e. A )
32		simp32 1098	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> -. q .<_ W )
33	31, 32	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> ( q e. A /\ -. q .<_ W ) )
34		simp33 1099	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) )
35	1, 2, 3, 4	cdlemg1ci2 35874	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ ( q e. A /\ -. q .<_ W ) ) /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) -> F e. T )
36	27, 30, 33, 34, 35	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> F e. T )
37	36	3exp 1264	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( p e. A /\ q e. A ) -> ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) -> F e. T ) ) )
38	37	rexlimdvv 3037	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) -> F e. T ) )
39	26, 38	impbid 202	1 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( F e. T <-> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   iota_crio 6610   lecple 15948   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446

This theorem is referenced by:  cdlemg2cex  35879