Theorem lhpexnle 35292

Description: There exists an atom not under a co-atom. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp2a.l	|- .<_ = ( le ` K )
lhp2a.a	|- A = ( Atoms ` K )
lhp2a.h	|- H = ( LHyp ` K )

Assertion

Ref	Expression
lhpexnle	|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E. p e. A -. p .<_ W )

Distinct variable groups:   A, p   H, p   K, p   .<_ , p   W, p

Proof of Theorem lhpexnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
3		lhp2a.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
4	1, 2, 3	lhp1cvr 35285	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> W ( <o ` K ) ( 1. ` K ) )
5		simpl 473	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> K e. HL )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
7	6, 3	lhpbase 35284	. . . . 5 |- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
8	7	adantl 482	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> W e. ( Base ` K ) )
9		hlop 34649	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. OP )
10	6, 1	op1cl 34472	. . . . . 6 |- ( K e. OP -> ( 1. ` K ) e. ( Base ` K ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( K e. HL -> ( 1. ` K ) e. ( Base ` K ) )
12	11	adantr 481	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( 1. ` K ) e. ( Base ` K ) )
13		lhp2a.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
14		eqid 2622	. . . . 5 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
15		lhp2a.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
16	6, 13, 14, 2, 15	cvrval3 34699	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. ( Base ` K ) /\ ( 1. ` K ) e. ( Base ` K ) ) -> ( W ( <o ` K ) ( 1. ` K ) <-> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ ( W ( join ` K ) p ) = ( 1. ` K ) ) ) )
17	5, 8, 12, 16	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( W ( <o ` K ) ( 1. ` K ) <-> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ ( W ( join ` K ) p ) = ( 1. ` K ) ) ) )
18	4, 17	mpbid 222	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ ( W ( join ` K ) p ) = ( 1. ` K ) ) )
19		simpl 473	. . 3 |- ( ( -. p .<_ W /\ ( W ( join ` K ) p ) = ( 1. ` K ) ) -> -. p .<_ W )
20	19	reximi 3011	. 2 |- ( E. p e. A ( -. p .<_ W /\ ( W ( join ` K ) p ) = ( 1. ` K ) ) -> E. p e. A -. p .<_ W )
21	18, 20	syl 17	1 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E. p e. A -. p .<_ W )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   1.cp1 17038   OPcops 34459   <o ccvr 34549   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-lhyp 35274

This theorem is referenced by:  trlcnv  35452  trlator0  35458  trlid0  35463  trlnidatb  35464  cdlemf2  35850  cdlemg1cex  35876  trlco  36015  cdlemg44  36021