Theorem climuzlem 39975

Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence F is A, or F converges to A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climuzlem.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
climuzlem.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climuzlem.3	|- ( ph -> F : Z --> CC )

Assertion

Ref	Expression
climuzlem	|- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, k, x   j, F, k, x   j, M   j, Z, k   ph, j, k, x

Allowed substitution hints:   M( x, k)   Z( x)

Proof of Theorem climuzlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcl 14230	. . . 4 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
2	1	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ F ~~> A ) -> A e. CC )
3		id 22	. . . . . . 7 |- ( F ~~> A -> F ~~> A )
4		climrel 14223	. . . . . . . . 9 |- Rel ~~>
5	4	brrelexi 5158	. . . . . . . 8 |- ( F ~~> A -> F e. _V )
6		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( F ~~> A /\ k e. ZZ ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
7	5, 6	clim 14225	. . . . . . 7 |- ( F ~~> A -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
8	3, 7	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( F ~~> A -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
9	8	simprd 479	. . . . 5 |- ( F ~~> A -> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
10	9	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ~~> A ) -> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
11		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
12		climuzlem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
13		climuzlem.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
14	13	rexuz3 14088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
17	11, 16	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
18		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x )
19	18	ralimi 2952	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x )
20	19	reximi 3011	. . . . . . . . . 10 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
22	17, 21	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x )
23	22	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
24	23	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
25	24	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
26	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ~~> A ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
27	10, 26	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ F ~~> A ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x )
28	2, 27	jca 554	. 2 |- ( ( ph /\ F ~~> A ) -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
29		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> A e. CC )
30		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ j ph
31		nfre1 3005	. . . . . . . 8 |- F/ j E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x )
32	13	uzssz2 39685	. . . . . . . . . . . 12 |- Z C_ ZZ
33	32	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
34	33	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> j e. ZZ )
35		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
36	13	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
37	36	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
38		climuzlem.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : Z --> CC )
39	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
40	35, 37, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> ( F ` k ) e. CC )
42		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x )
43	41, 42	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
44	43	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x -> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
45	44	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
46	45	3impia 1261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
47		rspe 3003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
48	34, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
49	48	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
50	30, 31, 49	rexlimd 3026	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
51	50	ralimdv 2963	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
52	51	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
53	52	adantrl 752	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
54	29, 53	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
55	13	fvexi 6202	. . . . . . 7 |- Z e. _V
56	55	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. _V )
57	38, 56	fexd 39296	. . . . 5 |- ( ph -> F e. _V )
58		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
59	57, 58	clim 14225	. . . 4 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
60	59	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
61	54, 60	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> F ~~> A )
62	28, 61	impbida 877	1 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   < clt 10074   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  climuz  39976