Theorem bcth3 23128

Description: Baire's Category Theorem, version 3: The intersection of countably many dense open sets is dense. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
bcth.2	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
bcth3	|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J /\ A. k e. NN ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = X ) -> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = X )

Distinct variable groups:   D, k   k, J   k, M   k, X

Proof of Theorem bcth3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmet 23084	. . . . 5 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
2		metxmet 22139	. . . . 5 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
4		bcth.2	. . . . . . . . . 10 |- J = ( MetOpen ` D )
5	4	mopntop 22245	. . . . . . . . 9 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
6	5	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> J e. Top )
7		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M : NN --> J /\ k e. NN ) -> ( M ` k ) e. J )
8		elssuni 4467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ` k ) e. J -> ( M ` k ) C_ U. J )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( M : NN --> J /\ k e. NN ) -> ( M ` k ) C_ U. J )
10	9	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( M ` k ) C_ U. J )
11		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
12	11	clsval2 20854	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( M ` k ) C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) )
13	6, 10, 12	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) )
14	4	mopnuni 22246	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> X = U. J )
16	13, 15	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = X <-> ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) = U. J ) )
17		difeq2 3722	. . . . . . . 8 |- ( ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) = U. J -> ( U. J \ ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) ) = ( U. J \ U. J ) )
18		difid 3948	. . . . . . . 8 |- ( U. J \ U. J ) = (/)
19	17, 18	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) = U. J -> ( U. J \ ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) ) = (/) )
20		difss 3737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. J \ ( M ` k ) ) C_ U. J
21	11	ntropn 20853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( U. J \ ( M ` k ) ) C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) e. J )
22	6, 20, 21	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) e. J )
23		elssuni 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) e. J -> ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) C_ U. J )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) C_ U. J )
25		dfss4 3858	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) C_ U. J <-> ( U. J \ ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) ) = ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) )
26	24, 25	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( U. J \ ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) ) = ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) )
27		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. NN )
28		elfvdm 6220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
29		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. dom *Met -> ( X \ ( M ` k ) ) e. _V )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( X \ ( M ` k ) ) e. _V )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( X \ ( M ` k ) ) e. _V )
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> ( M ` x ) = ( M ` k ) )
33	32	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> ( X \ ( M ` x ) ) = ( X \ ( M ` k ) ) )
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) )
35	33, 34	fvmptg 6280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ ( X \ ( M ` k ) ) e. _V ) -> ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) = ( X \ ( M ` k ) ) )
36	27, 31, 35	syl2anr 495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) = ( X \ ( M ` k ) ) )
37	15	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( X \ ( M ` k ) ) = ( U. J \ ( M ` k ) ) )
38	36, 37	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) = ( U. J \ ( M ` k ) ) )
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) )
40	26, 39	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( U. J \ ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) ) = ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) )
41	40	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( U. J \ ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) ) = (/) <-> ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) ) )
42	19, 41	syl5ib 234	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) = U. J -> ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) ) )
43	16, 42	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = X -> ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) ) )
44	43	ralimdva 2962	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( A. k e. NN ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = X -> A. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) ) )
45	3, 44	sylan 488	. . 3 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( A. k e. NN ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = X -> A. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) ) )
46		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( M : NN --> J /\ x e. NN ) -> ( M ` x ) e. J )
47	14	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( X \ ( M ` x ) ) = ( U. J \ ( M ` x ) ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( M ` x ) e. J ) -> ( X \ ( M ` x ) ) = ( U. J \ ( M ` x ) ) )
49	11	opncld 20837	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ ( M ` x ) e. J ) -> ( U. J \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
50	5, 49	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( M ` x ) e. J ) -> ( U. J \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
51	48, 50	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( M ` x ) e. J ) -> ( X \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
52	46, 51	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( M : NN --> J /\ x e. NN ) ) -> ( X \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
53	52	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ x e. NN ) -> ( X \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
54	53	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> A. x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
55	3, 54	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J ) -> A. x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
56	34	fmpt 6381	. . . . 5 |- ( A. x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) )
57	55, 56	sylib 208	. . . 4 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) )
58		nne 2798	. . . . . . 7 |- ( -. ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) <-> ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) )
59	58	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. k e. NN -. ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) <-> A. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) )
60		ralnex 2992	. . . . . 6 |- ( A. k e. NN -. ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) <-> -. E. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) )
61	59, 60	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( A. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) <-> -. E. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) )
62	4	bcth 23126	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) /\ ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) =/= (/) ) -> E. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) )
63	62	3expia 1267	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) =/= (/) -> E. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) ) )
64	63	necon1bd 2812	. . . . 5 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) ) -> ( -. E. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) -> ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) = (/) ) )
65	61, 64	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) ) -> ( A. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) -> ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) = (/) ) )
66	57, 65	syldan 487	. . 3 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( A. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) -> ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) = (/) ) )
67		difeq2 3722	. . . . 5 |- ( ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) = (/) -> ( U. J \ ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) ) = ( U. J \ (/) ) )
68		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. dom *Met -> ( X \ ( M ` x ) ) e. _V )
69	28, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( X \ ( M ` x ) ) e. _V )
70	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ x e. NN ) -> ( X \ ( M ` x ) ) e. _V )
71	70	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> A. x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) e. _V )
72	34	fnmpt 6020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) e. _V -> ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) Fn NN )
73		fniunfv 6505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) Fn NN -> U_ k e. NN ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) = U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) )
74	71, 72, 73	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> U_ k e. NN ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) = U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) )
75	36	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> U_ k e. NN ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) = U_ k e. NN ( X \ ( M ` k ) ) )
76	33	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) = U_ k e. NN ( X \ ( M ` k ) )
77	75, 76	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> U_ k e. NN ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) = U_ x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) )
78	74, 77	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) = U_ x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) )
79		iundif2 4587	. . . . . . . . . . 11 |- U_ x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) = ( X \ |^|_ x e. NN ( M ` x ) )
80	78, 79	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) = ( X \ |^|_ x e. NN ( M ` x ) ) )
81		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M : NN --> J -> M Fn NN )
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> M Fn NN )
83		fniinfv 6257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M Fn NN -> |^|_ x e. NN ( M ` x ) = |^| ran M )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> |^|_ x e. NN ( M ` x ) = |^| ran M )
85	84	difeq2d 3728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( X \ |^|_ x e. NN ( M ` x ) ) = ( X \ |^| ran M ) )
86	14	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> X = U. J )
87	86	difeq1d 3727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( X \ |^| ran M ) = ( U. J \ |^| ran M ) )
88	80, 85, 87	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) = ( U. J \ |^| ran M ) )
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) = ( ( int ` J ) ` ( U. J \ |^| ran M ) ) )
90	89	difeq2d 3728	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( U. J \ ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) ) = ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ |^| ran M ) ) ) )
91	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> J e. Top )
92		1nn 11031	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
93		biidd 252	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> |^| ran M C_ U. J ) <-> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> |^| ran M C_ U. J ) ) )
94		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M Fn NN /\ k e. NN ) -> ( M ` k ) e. ran M )
95	82, 94	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( M ` k ) e. ran M )
96		intss1 4492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M ` k ) e. ran M -> |^| ran M C_ ( M ` k ) )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> |^| ran M C_ ( M ` k ) )
98	97, 10	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> |^| ran M C_ U. J )
99	98	expcom 451	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> |^| ran M C_ U. J ) )
100	93, 99	vtoclga 3272	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. NN -> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> |^| ran M C_ U. J ) )
101	92, 100	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> |^| ran M C_ U. J )
102	11	clsval2 20854	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ |^| ran M C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ |^| ran M ) ) ) )
103	91, 101, 102	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ |^| ran M ) ) ) )
104	90, 103	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( U. J \ ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) ) = ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) )
105		dif0 3950	. . . . . . 7 |- ( U. J \ (/) ) = U. J
106	86, 105	syl6reqr 2675	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( U. J \ (/) ) = X )
107	104, 106	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( ( U. J \ ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) ) = ( U. J \ (/) ) <-> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = X ) )
108	67, 107	syl5ib 234	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) = (/) -> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = X ) )
109	3, 108	sylan 488	. . 3 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) = (/) -> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = X ) )
110	45, 66, 109	3syld 60	. 2 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( A. k e. NN ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = X -> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = X ) )
111	110	3impia 1261	1 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J /\ A. k e. NN ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = X ) -> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |^|cint 4475   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   1c1 9937   NNcn 11020   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   MetOpencmopn 19736   Topctop 20698   Clsdccld 20820   intcnt 20821   clsccl 20822   CMetcms 23052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-dc 9268  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lm 21033  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055

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