Theorem cncls2i 21074

Description: Property of the preimage of a closure. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncls2i.1	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cncls2i	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " S ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` S ) ) )

Proof of Theorem cncls2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop2 21045	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
2		cncls2i.1	. . . . 5 |- Y = U. K
3	2	clscld 20851	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` K ) )
4	1, 3	sylan 488	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` K ) )
5		cnclima 21072	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` K ) ) -> ( `' F " ( ( cls ` K ) ` S ) ) e. ( Clsd ` J ) )
6	4, 5	syldan 487	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( cls ` K ) ` S ) ) e. ( Clsd ` J ) )
7	2	sscls 20860	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
8	1, 7	sylan 488	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
9		imass2 5501	. . 3 |- ( S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) -> ( `' F " S ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` S ) ) )
10	8, 9	syl 17	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " S ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` S ) ) )
11		eqid 2622	. . 3 |- U. J = U. J
12	11	clsss2 20876	. 2 |- ( ( ( `' F " ( ( cls ` K ) ` S ) ) e. ( Clsd ` J ) /\ ( `' F " S ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` S ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " S ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` S ) ) )
13	6, 10, 12	syl2anc 693	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " S ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698   Clsdccld 20820   clsccl 20822   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-cls 20825  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  cnclsi  21076  cncls2  21077  imasncls  21495  hmeocls  21571  clssubg  21912