Theorem iscncl 21073

Description: A definition of a continuous function using closed sets. Theorem 1 (d) of [BourbakiTop1] p. I.9. (Contributed by FL, 19-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscncl	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, F   y, J   y, K   y, X   y, Y

Proof of Theorem iscncl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnf2 21053	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
2	1	3expa 1265	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
3		cnclima 21072	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ y e. ( Clsd ` K ) ) -> ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) )
4	3	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) )
5	4	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) )
6	2, 5	jca 554	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) )
7		simprl 794	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) -> F : X --> Y )
8		toponuni 20719	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
9	8	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> X = U. J )
10		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> F : X --> Y )
11		fimacnv 6347	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : X --> Y -> ( `' F " Y ) = X )
12	11	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( F : X --> Y -> X = ( `' F " Y ) )
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> X = ( `' F " Y ) )
14	9, 13	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> U. J = ( `' F " Y ) )
15	14	difeq1d 3727	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> ( U. J \ ( `' F " x ) ) = ( ( `' F " Y ) \ ( `' F " x ) ) )
16		ffun 6048	. . . . . . . 8 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
17		funcnvcnv 5956	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> Fun `' `' F )
18		imadif 5973	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' `' F -> ( `' F " ( Y \ x ) ) = ( ( `' F " Y ) \ ( `' F " x ) ) )
19	10, 16, 17, 18	4syl 19	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ( Y \ x ) ) = ( ( `' F " Y ) \ ( `' F " x ) ) )
20	15, 19	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> ( U. J \ ( `' F " x ) ) = ( `' F " ( Y \ x ) ) )
21		toponuni 20719	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
22	21	ad3antlr 767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> Y = U. K )
23	22	difeq1d 3727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> ( Y \ x ) = ( U. K \ x ) )
24		topontop 20718	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
25	24	ad3antlr 767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> K e. Top )
26		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. K = U. K
27	26	opncld 20837	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Top /\ x e. K ) -> ( U. K \ x ) e. ( Clsd ` K ) )
28	25, 27	sylancom 701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> ( U. K \ x ) e. ( Clsd ` K ) )
29	23, 28	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> ( Y \ x ) e. ( Clsd ` K ) )
30		simplrr 801	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) )
31		imaeq2 5462	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( Y \ x ) -> ( `' F " y ) = ( `' F " ( Y \ x ) ) )
32	31	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( y = ( Y \ x ) -> ( ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( `' F " ( Y \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) )
33	32	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( ( Y \ x ) e. ( Clsd ` K ) -> ( A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) -> ( `' F " ( Y \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) )
34	29, 30, 33	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ( Y \ x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
35	20, 34	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> ( U. J \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
36		topontop 20718	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
37	36	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> J e. Top )
38		cnvimass 5485	. . . . . . . 8 |- ( `' F " x ) C_ dom F
39		fdm 6051	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
40	10, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> dom F = X )
41	38, 40	syl5sseq 3653	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " x ) C_ X )
42	41, 9	sseqtrd 3641	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " x ) C_ U. J )
43		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
44	43	isopn2 20836	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( `' F " x ) C_ U. J ) -> ( ( `' F " x ) e. J <-> ( U. J \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) )
45	37, 42, 44	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' F " x ) e. J <-> ( U. J \ ( `' F " x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) )
46	35, 45	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " x ) e. J )
47	46	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) -> A. x e. K ( `' F " x ) e. J )
48		iscn 21039	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
49	48	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
50	7, 47, 49	mpbir2and 957	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
51	6, 50	impbida 877	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( Clsd ` K ) ( `' F " y ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  cncls2  21077  paste  21098  cmphaushmeo  21603  ubthlem1  27726  ubthlem2  27727