Theorem cnmpt12 21470

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt11.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
cnmpt1t.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
cnmpt12.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt12.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
cnmpt12.c	|- ( ph -> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) e. ( ( K tX L ) Cn M ) )
cnmpt12.d	|- ( ( y = A /\ z = B ) -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt12	|- ( ph -> ( x e. X |-> D ) e. ( J Cn M ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   y, D, z   x, y   ph, x   x, J, y   x, z, M, y   x, X, y, z   x, Y, y, z   x, Z, y, z   x, K, y   x, L, y   y, B   x, C

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   A( x)   B( x)   C( y, z)   D( x)   J( z)   K( z)   L( z)

Proof of Theorem cnmpt12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptid.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		cnmpt12.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		cnmpt11.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
4		cnf2 21053	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
6		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
7	6	fmpt 6381	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A e. Y <-> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
8	5, 7	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A e. Y )
9	8	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. Y )
10		cnmpt12.l	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
11		cnmpt1t.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
12		cnf2 21053	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
13	1, 10, 11, 12	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
14		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
15	14	fmpt 6381	. . . . . 6 |- ( A. x e. X B e. Z <-> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
16	13, 15	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X B e. Z )
17	16	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. Z )
18	9, 17	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A e. Y /\ B e. Z ) )
19		txtopon 21394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` Z ) ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) )
20	2, 10, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) )
21		cnmpt12.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) e. ( ( K tX L ) Cn M ) )
22		cntop2 21045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. Y , z e. Z |-> C ) e. ( ( K tX L ) Cn M ) -> M e. Top )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. Top )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. M = U. M
25	24	toptopon 20722	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
26	23, 25	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
27		cnf2 21053	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) /\ M e. (TopOn ` U. M ) /\ ( y e. Y , z e. Z |-> C ) e. ( ( K tX L ) Cn M ) ) -> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) : ( Y X. Z ) --> U. M )
28	20, 26, 21, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) : ( Y X. Z ) --> U. M )
29		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( y e. Y , z e. Z |-> C ) = ( y e. Y , z e. Z |-> C )
30	29	fmpt2 7237	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. Y A. z e. Z C e. U. M <-> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) : ( Y X. Z ) --> U. M )
31	28, 30	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. Y A. z e. Z C e. U. M )
32		r2al 2939	. . . . . . 7 |- ( A. y e. Y A. z e. Z C e. U. M <-> A. y A. z ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) )
33	31, 32	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y A. z ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) )
34	33	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y A. z ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) )
35		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( y e. Y <-> A e. Y ) )
36		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( z e. Z <-> B e. Z ) )
37	35, 36	bi2anan9 917	. . . . . . 7 |- ( ( y = A /\ z = B ) -> ( ( y e. Y /\ z e. Z ) <-> ( A e. Y /\ B e. Z ) ) )
38		cnmpt12.d	. . . . . . . 8 |- ( ( y = A /\ z = B ) -> C = D )
39	38	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( ( y = A /\ z = B ) -> ( C e. U. M <-> D e. U. M ) )
40	37, 39	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( ( y = A /\ z = B ) -> ( ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) <-> ( ( A e. Y /\ B e. Z ) -> D e. U. M ) ) )
41	40	spc2gv 3296	. . . . 5 |- ( ( A e. Y /\ B e. Z ) -> ( A. y A. z ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) -> ( ( A e. Y /\ B e. Z ) -> D e. U. M ) ) )
42	18, 34, 18, 41	syl3c 66	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. U. M )
43	38, 29	ovmpt2ga 6790	. . . 4 |- ( ( A e. Y /\ B e. Z /\ D e. U. M ) -> ( A ( y e. Y , z e. Z |-> C ) B ) = D )
44	9, 17, 42, 43	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A ( y e. Y , z e. Z |-> C ) B ) = D )
45	44	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ( y e. Y , z e. Z |-> C ) B ) ) = ( x e. X |-> D ) )
46	1, 3, 11, 21	cnmpt12f 21469	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ( y e. Y , z e. Z |-> C ) B ) ) e. ( J Cn M ) )
47	45, 46	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> D ) e. ( J Cn M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  cnmptkk  21486  cnmptk1p  21488  pcocn  22817  pcopt  22822  pcopt2  22823  pcoass  22824  resqrtcn  24490  sqrtcn  24491  rmulccn  29974  pl1cn  30001  cxpcncf1  30673  cxpcncf2  40113