Theorem cnmptkk 21486

Description: The composition of two curried functions is jointly continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptkk.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmptkk.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmptkk.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
cnmptkk.m	|- ( ph -> M e. (TopOn ` W ) )
cnmptkk.n	|- ( ph -> L e. 𝑛Locally Comp )
cnmptkk.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) )
cnmptkk.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( z e. Z |-> B ) ) e. ( J Cn ( M ^ko L ) ) )
cnmptkk.c	|- ( z = A -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cnmptkk	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> C ) ) e. ( J Cn ( M ^ko K ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   y, B   x, K   x, L   x, y, X   x, J   x, M   ph, x, y   y, Y   y, z, Z   z, C

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( x, y)   B( x, z)   C( x, y)   J( y, z)   K( y, z)   L( y, z)   M( y, z)   W( x, y, z)   X( z)   Y( x, z)   Z( x)

Proof of Theorem cnmptkk

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptkk.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
2	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		cnmptkk.l	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> L e. (TopOn ` Z ) )
5		cnmptkk.j	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
6		topontop 20718	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
7	1, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. Top )
8		cnmptkk.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. 𝑛Locally Comp )
9		nllytop 21276	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. 𝑛Locally Comp -> L e. Top )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. Top )
11		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( L ^ko K ) = ( L ^ko K )
12	11	xkotopon 21403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Top /\ L e. Top ) -> ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) )
13	7, 10, 12	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) )
14		cnmptkk.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) )
15		cnf2 21053	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) /\ ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) : X --> ( K Cn L ) )
16	5, 13, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) : X --> ( K Cn L ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) )
18	17	fmpt 6381	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) <-> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) : X --> ( K Cn L ) )
19	16, 18	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )
20	19	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )
21		cnf2 21053	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) ) -> ( y e. Y |-> A ) : Y --> Z )
22	2, 4, 20, 21	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> A ) : Y --> Z )
23		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( y e. Y |-> A ) = ( y e. Y |-> A )
24	23	fmpt 6381	. . . . 5 |- ( A. y e. Y A e. Z <-> ( y e. Y |-> A ) : Y --> Z )
25	22, 24	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. Y A e. Z )
26		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> A ) = ( y e. Y |-> A ) )
27		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( z e. Z |-> B ) = ( z e. Z |-> B ) )
28		cnmptkk.c	. . . 4 |- ( z = A -> B = C )
29	25, 26, 27, 28	fmptcof 6397	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( y e. Y |-> A ) ) = ( y e. Y |-> C ) )
30	29	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( y e. Y |-> A ) ) ) = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> C ) ) )
31		cnmptkk.b	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( z e. Z |-> B ) ) e. ( J Cn ( M ^ko L ) ) )
32		cnmptkk.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. (TopOn ` W ) )
33		topontop 20718	. . . . 5 |- ( M e. (TopOn ` W ) -> M e. Top )
34	32, 33	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> M e. Top )
35		eqid 2622	. . . . 5 |- ( M ^ko L ) = ( M ^ko L )
36	35	xkotopon 21403	. . . 4 |- ( ( L e. Top /\ M e. Top ) -> ( M ^ko L ) e. (TopOn ` ( L Cn M ) ) )
37	10, 34, 36	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( M ^ko L ) e. (TopOn ` ( L Cn M ) ) )
38		eqid 2622	. . . . 5 |- ( f e. ( L Cn M ) , g e. ( K Cn L ) |-> ( f o. g ) ) = ( f e. ( L Cn M ) , g e. ( K Cn L ) |-> ( f o. g ) )
39	38	xkococn 21463	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ L e. 𝑛Locally Comp /\ M e. Top ) -> ( f e. ( L Cn M ) , g e. ( K Cn L ) |-> ( f o. g ) ) e. ( ( ( M ^ko L ) tX ( L ^ko K ) ) Cn ( M ^ko K ) ) )
40	7, 8, 34, 39	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( f e. ( L Cn M ) , g e. ( K Cn L ) |-> ( f o. g ) ) e. ( ( ( M ^ko L ) tX ( L ^ko K ) ) Cn ( M ^ko K ) ) )
41		coeq1 5279	. . . 4 |- ( f = ( z e. Z |-> B ) -> ( f o. g ) = ( ( z e. Z |-> B ) o. g ) )
42		coeq2 5280	. . . 4 |- ( g = ( y e. Y |-> A ) -> ( ( z e. Z |-> B ) o. g ) = ( ( z e. Z |-> B ) o. ( y e. Y |-> A ) ) )
43	41, 42	sylan9eq 2676	. . 3 |- ( ( f = ( z e. Z |-> B ) /\ g = ( y e. Y |-> A ) ) -> ( f o. g ) = ( ( z e. Z |-> B ) o. ( y e. Y |-> A ) ) )
44	5, 31, 14, 37, 13, 40, 43	cnmpt12 21470	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( ( z e. Z |-> B ) o. ( y e. Y |-> A ) ) ) e. ( J Cn ( M ^ko K ) ) )
45	30, 44	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> C ) ) e. ( J Cn ( M ^ko K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Compccmp 21189  𝑛Locally cnlly 21268   tX ctx 21363   ^ko cxko 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cmp 21190  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-xko 21366

This theorem is referenced by: (None)