Theorem pcopt 22822

Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcopt.1	|- P = ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } )

Assertion

Ref	Expression
pcopt	|- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( P ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) F )

Proof of Theorem pcopt

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcopt.1	. . . . . . . . . 10 |- P = ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } )
2	1	fveq1i 6192	. . . . . . . . 9 |- ( P ` ( 2 x. x ) ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } ) ` ( 2 x. x ) )
3		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( F ` 0 ) = Y )
4		iiuni 22684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
5		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
6	4, 5	cnf 21050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( II Cn J ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
8		0elunit 12290	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
9		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 0 ) e. U. J )
10	7, 8, 9	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( F ` 0 ) e. U. J )
11	3, 10	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> Y e. U. J )
12		elii1 22734	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) )
13		iihalf1 22730	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] 1 ) )
14	12, 13	sylbir 225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] 1 ) )
15		fvconst2g 6467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y e. U. J /\ ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } ) ` ( 2 x. x ) ) = Y )
16	11, 14, 15	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } ) ` ( 2 x. x ) ) = Y )
17	2, 16	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( P ` ( 2 x. x ) ) = Y )
18		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( F ` 0 ) = Y )
19	17, 18	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( P ` ( 2 x. x ) ) = ( F ` 0 ) )
20	19	ifeq1d 4104	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( P ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
21	20	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( P ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
22		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( P ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
23		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
24	22, 23	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( P ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
25	21, 24	pm2.61d1 171	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( P ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
26	25	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( P ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
27		cntop2 21045	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> J e. Top )
28	27	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> J e. Top )
29	5	toptopon 20722	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
30	28, 29	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
31	1	pcoptcl 22821	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ Y e. U. J ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = Y /\ ( P ` 1 ) = Y ) )
32	30, 11, 31	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = Y /\ ( P ` 1 ) = Y ) )
33	32	simp1d 1073	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> P e. ( II Cn J ) )
34		simpl 473	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> F e. ( II Cn J ) )
35	33, 34	pcoval 22811	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( P ( *p ` J ) F ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( P ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
36		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) - 1 ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) - 1 ) )
38		elii2 22735	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
39		iihalf2 22732	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
41	37, 40	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
42	41	ex 450	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) ) )
43		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = 0 )
44	43, 8	syl6eqel 2709	. . . . . 6 |- ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
45	42, 44	pm2.61d2 172	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
46	45	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
47		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
48	47	a1i 11	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
49	7	feqmptd 6249	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> F = ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` y ) ) )
50		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( y = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
51		fvif 6204	. . . . 5 |- ( F ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
52	50, 51	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( y = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) -> ( F ` y ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
53	46, 48, 49, 52	fmptco 6396	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( F o. ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
54	26, 35, 53	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( P ( *p ` J ) F ) = ( F o. ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
55		iitopon 22682	. . . . 5 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
56	55	a1i 11	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
57	56	cnmptid 21464	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( II Cn II ) )
58	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> 0 e. ( 0 [,] 1 ) )
59	56, 56, 58	cnmptc 21465	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> 0 ) e. ( II Cn II ) )
60		eqid 2622	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
61		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
62		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
63		dfii2 22685	. . . . 5 |- II = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] 1 ) )
64		0re 10040	. . . . . 6 |- 0 e. RR
65	64	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> 0 e. RR )
66		1re 10039	. . . . . 6 |- 1 e. RR
67	66	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> 1 e. RR )
68		halfre 11246	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. RR
69		halfgt0 11248	. . . . . . . 8 |- 0 < ( 1 / 2 )
70	64, 68, 69	ltleii 10160	. . . . . . 7 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
71		halflt1 11250	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) < 1
72	68, 66, 71	ltleii 10160	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
73	64, 66	elicc2i 12239	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) )
74	68, 70, 72, 73	mpbir3an 1244	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 )
75	74	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
76		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> y = ( 1 / 2 ) )
77	76	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) )
78		2cn 11091	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
79		2ne0 11113	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
80	78, 79	recidi 10756	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
81	77, 80	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. y ) = 1 )
82	81	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
83		1m1e0 11089	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
84	82, 83	syl6req 2673	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> 0 = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
85		retopon 22567	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
86		iccssre 12255	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
87	64, 68, 86	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
88		resttopon 20965	. . . . . . . 8 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
89	85, 87, 88	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
90	89	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
91	90, 56, 56, 58	cnmpt2c 21473	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> 0 ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
92		iccssre 12255	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
93	68, 66, 92	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR
94		resttopon 20965	. . . . . . . 8 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
95	85, 93, 94	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
96	95	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
97	96, 56	cnmpt1st 21471	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) ) )
98	62	iihalf2cn 22733	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II )
99	98	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II ) )
100		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. y ) )
101	100	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
102	96, 56, 97, 96, 99, 101	cnmpt21 21474	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
103	60, 61, 62, 63, 65, 67, 75, 56, 84, 91, 102	cnmpt2pc 22727	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II ) )
104		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( y <_ ( 1 / 2 ) <-> x <_ ( 1 / 2 ) ) )
105		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) )
106	105	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) - 1 ) )
107	104, 106	ifbieq2d 4111	. . . . 5 |- ( y = x -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
108	107	adantr 481	. . . 4 |- ( ( y = x /\ z = 0 ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
109	56, 57, 59, 56, 56, 103, 108	cnmpt12 21470	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) e. ( II Cn II ) )
110		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> x = 0 )
111	110, 70	syl6eqbr 4692	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> x <_ ( 1 / 2 ) )
112	111, 43	syl 17	. . . . 5 |- ( x = 0 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = 0 )
113		c0ex 10034	. . . . 5 |- 0 e. _V
114	112, 47, 113	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = 0 )
115	8, 114	mp1i 13	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = 0 )
116		1elunit 12291	. . . 4 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
117	68, 66	ltnlei 10158	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( 1 / 2 ) )
118	71, 117	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- -. 1 <_ ( 1 / 2 )
119		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> 1 <_ ( 1 / 2 ) ) )
120	118, 119	mtbiri 317	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> -. x <_ ( 1 / 2 ) )
121	120, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) - 1 ) )
122		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 1 ) )
123		2t1e2 11176	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 1 ) = 2
124	122, 123	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( 2 x. x ) = 2 )
125	124	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
126		2m1e1 11135	. . . . . . 7 |- ( 2 - 1 ) = 1
127	125, 126	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = 1 )
128	121, 127	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( x = 1 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = 1 )
129		1ex 10035	. . . . 5 |- 1 e. _V
130	128, 47, 129	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ` 1 ) = 1 )
131	116, 130	mp1i 13	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ` 1 ) = 1 )
132	34, 109, 115, 131	reparpht 22798	. 2 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( F o. ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) ( ~=ph ` J ) F )
133	54, 132	eqbrtrd 4675	1 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( P ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   IIcii 22678   ~=ph cphtpc 22768   *pcpco 22800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pco 22805

This theorem is referenced by:  pcophtb  22829  pi1grplem  22849  pi1xfr  22855  pi1xfrcnvlem  22856