Theorem cnpflf2 21804

Description: F is continuous at point A iff a limit of F when x tends to A is ( F ` A ). Proposition 9 of [BourbakiTop1] p. TG I.50. (Contributed by FL, 29-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnpflf2.3	|- L = ( ( nei ` J ) ` { A } )

Assertion

Ref	Expression
cnpflf2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) ) ) )

Proof of Theorem cnpflf2

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnpf2 21054	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : X --> Y )
2	1	3expa 1265	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : X --> Y )
3	2	3adantl3 1219	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : X --> Y )
4		simpl1 1064	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5		simpl3 1066	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A e. X )
6		neiflim 21778	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> A e. ( J fLim ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
7		cnpflf2.3	. . . . . . 7 |- L = ( ( nei ` J ) ` { A } )
8	7	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( J fLim L ) = ( J fLim ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
9	6, 8	syl6eleqr 2712	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> A e. ( J fLim L ) )
10	4, 5, 9	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A e. ( J fLim L ) )
11		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
12		cnpflfi 21803	. . . 4 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) )
13	10, 11, 12	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) )
14	3, 13	jca 554	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F : X --> Y /\ ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) ) )
15		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> J e. (TopOn ` X ) )
16		topontop 20718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> J e. Top )
18		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> A e. X )
19		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
20	15, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> X = U. J )
21	18, 20	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> A e. U. J )
22	7	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. L <-> z e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. J = U. J
24	23	isneip 20909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ A e. U. J ) -> ( z e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( z C_ U. J /\ E. v e. J ( A e. v /\ v C_ z ) ) ) )
25	22, 24	syl5bb 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ A e. U. J ) -> ( z e. L <-> ( z C_ U. J /\ E. v e. J ( A e. v /\ v C_ z ) ) ) )
26	17, 21, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( z e. L <-> ( z C_ U. J /\ E. v e. J ( A e. v /\ v C_ z ) ) ) )
27		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F " v ) C_ ( F " z ) -> ( ( F " z ) C_ u -> ( F " v ) C_ u ) )
28		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v C_ z -> ( F " v ) C_ ( F " z ) )
29	27, 28	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F " z ) C_ u -> ( v C_ z -> ( F " v ) C_ u ) )
30	29	anim2d 589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F " z ) C_ u -> ( ( A e. v /\ v C_ z ) -> ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) )
31	30	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " z ) C_ u -> ( E. v e. J ( A e. v /\ v C_ z ) -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) )
32	31	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. v e. J ( A e. v /\ v C_ z ) -> ( ( F " z ) C_ u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z C_ U. J /\ E. v e. J ( A e. v /\ v C_ z ) ) -> ( ( F " z ) C_ u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) )
34	26, 33	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( z e. L -> ( ( F " z ) C_ u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) ) )
35	34	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( E. z e. L ( F " z ) C_ u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) )
36	35	imim2d 57	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( ( F ` A ) e. u -> E. z e. L ( F " z ) C_ u ) -> ( ( F ` A ) e. u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) ) )
37	36	ralimdv 2963	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. z e. L ( F " z ) C_ u ) -> A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) ) )
38		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> F : X --> Y )
39	37, 38	jctild 566	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. z e. L ( F " z ) C_ u ) -> ( F : X --> Y /\ A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) ) ) )
40	39	adantld 483	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( ( F ` A ) e. Y /\ A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. z e. L ( F " z ) C_ u ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) ) ) )
41		simpl2 1065	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
42	18	snssd 4340	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> { A } C_ X )
43		snnzg 4308	. . . . . . . 8 |- ( A e. X -> { A } =/= (/) )
44	18, 43	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> { A } =/= (/) )
45		neifil 21684	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ { A } C_ X /\ { A } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
46	15, 42, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
47	7, 46	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> L e. ( Fil ` X ) )
48		isflf 21797	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) <-> ( ( F ` A ) e. Y /\ A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. z e. L ( F " z ) C_ u ) ) ) )
49	41, 47, 38, 48	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) <-> ( ( F ` A ) e. Y /\ A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. z e. L ( F " z ) C_ u ) ) ) )
50		iscnp 21041	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) ) ) )
51	50	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. K ( ( F ` A ) e. u -> E. v e. J ( A e. v /\ ( F " v ) C_ u ) ) ) ) )
52	40, 49, 51	3imtr4d 283	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) )
53	52	impr 649	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) /\ ( F : X --> Y /\ ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
54	14, 53	impbida 877	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   neicnei 20901   CnP ccnp 21029   Filcfil 21649   fLim cflim 21738   fLimf cflf 21739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cnp 21032  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744

This theorem is referenced by:  cnpflf  21805