Theorem cnpflfi 21803

Description: Forward direction of cnpflf 21805. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnpflfi	|- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) )

Proof of Theorem cnpflfi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- U. J = U. J
2		eqid 2622	. . . . 5 |- U. K = U. K
3	1, 2	cnpf 21051	. . . 4 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> F : U. J --> U. K )
4	3	adantl 482	. . 3 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> F : U. J --> U. K )
5	1	flimelbas 21772	. . . 4 |- ( A e. ( J fLim L ) -> A e. U. J )
6	5	adantr 481	. . 3 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A e. U. J )
7	4, 6	ffvelrnd 6360	. 2 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. U. K )
8		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. K /\ ( F ` A ) e. x ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
9		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. K /\ ( F ` A ) e. x ) ) -> x e. K )
10		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. K /\ ( F ` A ) e. x ) ) -> ( F ` A ) e. x )
11		cnpimaex 21060	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ x e. K /\ ( F ` A ) e. x ) -> E. y e. J ( A e. y /\ ( F " y ) C_ x ) )
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. K /\ ( F ` A ) e. x ) ) -> E. y e. J ( A e. y /\ ( F " y ) C_ x ) )
13		anass 681	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. J /\ A e. y ) /\ ( F " y ) C_ x ) <-> ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) )
14		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A e. ( J fLim L ) )
15		flimtop 21769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( J fLim L ) -> J e. Top )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> J e. Top )
17	1	toptopon 20722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
18	16, 17	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
19	1	flimfil 21773	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( J fLim L ) -> L e. ( Fil ` U. J ) )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> L e. ( Fil ` U. J ) )
21		flimopn 21779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ L e. ( Fil ` U. J ) ) -> ( A e. ( J fLim L ) <-> ( A e. U. J /\ A. y e. J ( A e. y -> y e. L ) ) ) )
22	18, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( A e. ( J fLim L ) <-> ( A e. U. J /\ A. y e. J ( A e. y -> y e. L ) ) ) )
23	14, 22	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( A e. U. J /\ A. y e. J ( A e. y -> y e. L ) ) )
24	23	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A. y e. J ( A e. y -> y e. L ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. K /\ ( F ` A ) e. x ) ) -> A. y e. J ( A e. y -> y e. L ) )
26	25	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. K /\ ( F ` A ) e. x ) ) /\ y e. J ) -> ( A e. y -> y e. L ) )
27	26	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. K /\ ( F ` A ) e. x ) ) -> ( ( y e. J /\ A e. y ) -> y e. L ) )
28	27	anim1d 588	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. K /\ ( F ` A ) e. x ) ) -> ( ( ( y e. J /\ A e. y ) /\ ( F " y ) C_ x ) -> ( y e. L /\ ( F " y ) C_ x ) ) )
29	13, 28	syl5bir 233	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. K /\ ( F ` A ) e. x ) ) -> ( ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) -> ( y e. L /\ ( F " y ) C_ x ) ) )
30	29	reximdv2 3014	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. K /\ ( F ` A ) e. x ) ) -> ( E. y e. J ( A e. y /\ ( F " y ) C_ x ) -> E. y e. L ( F " y ) C_ x ) )
31	12, 30	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ ( x e. K /\ ( F ` A ) e. x ) ) -> E. y e. L ( F " y ) C_ x )
32	31	expr 643	. . 3 |- ( ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) /\ x e. K ) -> ( ( F ` A ) e. x -> E. y e. L ( F " y ) C_ x ) )
33	32	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> A. x e. K ( ( F ` A ) e. x -> E. y e. L ( F " y ) C_ x ) )
34		cnptop2 21047	. . . . 5 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> K e. Top )
35	34	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> K e. Top )
36	2	toptopon 20722	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
37	35, 36	sylib 208	. . 3 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
38		isflf 21797	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ L e. ( Fil ` U. J ) /\ F : U. J --> U. K ) -> ( ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) <-> ( ( F ` A ) e. U. K /\ A. x e. K ( ( F ` A ) e. x -> E. y e. L ( F " y ) C_ x ) ) ) )
39	37, 20, 4, 38	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) <-> ( ( F ` A ) e. U. K /\ A. x e. K ( ( F ` A ) e. x -> E. y e. L ( F " y ) C_ x ) ) ) )
40	7, 33, 39	mpbir2and 957	1 |- ( ( A e. ( J fLim L ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) -> ( F ` A ) e. ( ( K fLimf L ) ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   U.cuni 4436   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   CnP ccnp 21029   Filcfil 21649   fLim cflim 21738   fLimf cflf 21739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cnp 21032  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744

This theorem is referenced by:  cnpflf2  21804  cnpflf  21805  flfcnp  21808  cnpfcfi  21844