Theorem dfac2a 8952

Description: Our Axiom of Choice (in the form of ac3 9284) implies the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. See dfac2 8953 for the converse (which does use the Axiom of Regularity). (Contributed by NM, 5-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac2a	|- ( A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) -> CHOICE )

Distinct variable group:   x, z, y, w, v

Proof of Theorem dfac2a

Dummy variables f u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riotauni 6617	. . . . . . . . 9 |- ( E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) -> ( iota_ w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) = U. { w e. z | E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) } )
2		riotacl 6625	. . . . . . . . 9 |- ( E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) -> ( iota_ w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) e. z )
3	1, 2	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) -> U. { w e. z | E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) } e. z )
4		elequ2 2004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( w e. u <-> w e. z ) )
5		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = z -> ( u e. v <-> z e. v ) )
6	5	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( ( u e. v /\ w e. v ) <-> ( z e. v /\ w e. v ) ) )
7	6	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) <-> E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )
8	4, 7	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( ( w e. u /\ E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) ) <-> ( w e. z /\ E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) ) )
9	8	rabbidva2 3186	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = z -> { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } = { w e. z | E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) } )
10	9	unieqd 4446	. . . . . . . . . 10 |- ( u = z -> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } = U. { w e. z | E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) } )
11		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) = ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } )
12		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
13	12	rabex 4813	. . . . . . . . . . 11 |- { w e. z | E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) } e. _V
14	13	uniex 6953	. . . . . . . . . 10 |- U. { w e. z | E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) } e. _V
15	10, 11, 14	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( z e. x -> ( ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) ` z ) = U. { w e. z | E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) } )
16	15	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( z e. x -> ( ( ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) ` z ) e. z <-> U. { w e. z | E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) } e. z ) )
17	3, 16	syl5ibr 236	. . . . . . 7 |- ( z e. x -> ( E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) -> ( ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) ` z ) e. z ) )
18	17	imim2d 57	. . . . . 6 |- ( z e. x -> ( ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) -> ( z =/= (/) -> ( ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) ` z ) e. z ) ) )
19	18	ralimia 2950	. . . . 5 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) -> A. z e. x ( z =/= (/) -> ( ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) ` z ) e. z ) )
20		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } C_ u
21		elssuni 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. x -> u C_ U. x )
22	20, 21	syl5ss 3614	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. x -> { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } C_ U. x )
23	22	unissd 4462	. . . . . . . . 9 |- ( u e. x -> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } C_ U. U. x )
24		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
25	24	uniex 6953	. . . . . . . . . . 11 |- U. x e. _V
26	25	uniex 6953	. . . . . . . . . 10 |- U. U. x e. _V
27	26	elpw2 4828	. . . . . . . . 9 |- ( U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } e. ~P U. U. x <-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } C_ U. U. x )
28	23, 27	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( u e. x -> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } e. ~P U. U. x )
29	11, 28	fmpti 6383	. . . . . . 7 |- ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) : x --> ~P U. U. x
30	26	pwex 4848	. . . . . . 7 |- ~P U. U. x e. _V
31		fex2 7121	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) : x --> ~P U. U. x /\ x e. _V /\ ~P U. U. x e. _V ) -> ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) e. _V )
32	29, 24, 30, 31	mp3an 1424	. . . . . 6 |- ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) e. _V
33		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) -> ( f ` z ) = ( ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) ` z ) )
34	33	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( f = ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) ` z ) e. z ) )
35	34	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( f = ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) ` z ) e. z ) ) )
36	35	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( f = ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) -> ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. x ( z =/= (/) -> ( ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) ` z ) e. z ) ) )
37	32, 36	spcev 3300	. . . . 5 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( ( u e. x |-> U. { w e. u | E. v e. y ( u e. v /\ w e. v ) } ) ` z ) e. z ) -> E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
38	19, 37	syl 17	. . . 4 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) -> E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
39	38	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) -> E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
40	39	alimi 1739	. 2 |- ( A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) -> A. x E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
41		dfac3 8944	. 2 |- (CHOICE <-> A. x E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
42	40, 41	sylibr 224	1 |- ( A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) -> CHOICE )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888   iota_crio 6610  CHOICEwac 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  dfac2  8953  axac2  9288