Theorem dfon2lem9 31696

Description: Lemma for dfon2 31697. A class of new ordinals is well-founded by _E. (Contributed by Scott Fenton, 3-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfon2lem9	|- ( A. x e. A A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> _E Fr A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem dfon2lem9

Dummy variables z w t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssralv 3666	. . . . 5 |- ( z C_ A -> ( A. x e. A A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> A. x e. z A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) ) )
2		dfon2lem8 31695	. . . . . . . 8 |- ( ( z =/= (/) /\ A. x e. z A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) ) -> ( A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) /\ |^| z e. z ) )
3	2	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( z =/= (/) /\ A. x e. z A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) ) -> |^| z e. z )
4		intss1 4492	. . . . . . . . 9 |- ( t e. z -> |^| z C_ t )
5	2	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z =/= (/) /\ A. x e. z A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) ) -> A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) )
6		intex 4820	. . . . . . . . . . 11 |- ( z =/= (/) <-> |^| z e. _V )
7		dfon2lem3 31690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( |^| z e. _V -> ( A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) -> ( Tr |^| z /\ A. x e. |^| z -. x e. x ) ) )
8	7	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( |^| z e. _V /\ A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) ) -> ( Tr |^| z /\ A. x e. |^| z -. x e. x ) )
9	8	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( |^| z e. _V /\ A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) ) -> A. x e. |^| z -. x e. x )
10		untelirr 31585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. |^| z -. x e. x -> -. |^| z e. |^| z )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |^| z e. _V /\ A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) ) -> -. |^| z e. |^| z )
12		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( |^| z = t -> ( |^| z e. |^| z <-> t e. |^| z ) )
13	12	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( |^| z = t -> ( -. |^| z e. |^| z <-> -. t e. |^| z ) )
14	11, 13	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |^| z e. _V /\ A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) ) -> ( |^| z = t -> -. t e. |^| z ) )
15	14	a1dd 50	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |^| z e. _V /\ A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) ) -> ( |^| z = t -> ( |^| z C_ t -> -. t e. |^| z ) ) )
16	8	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |^| z e. _V /\ A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) ) -> Tr |^| z )
17		trss 4761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Tr |^| z -> ( t e. |^| z -> t C_ |^| z ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( |^| z e. _V /\ A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) ) -> ( t e. |^| z -> t C_ |^| z ) )
19		eqss 3618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( |^| z = t <-> ( |^| z C_ t /\ t C_ |^| z ) )
20	19	simplbi2com 657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t C_ |^| z -> ( |^| z C_ t -> |^| z = t ) )
21	18, 20	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( |^| z e. _V /\ A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) ) -> ( t e. |^| z -> ( |^| z C_ t -> |^| z = t ) ) )
22	21	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |^| z e. _V /\ A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) ) -> ( |^| z C_ t -> ( t e. |^| z -> |^| z = t ) ) )
23		con3 149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. |^| z -> |^| z = t ) -> ( -. |^| z = t -> -. t e. |^| z ) )
24	22, 23	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |^| z e. _V /\ A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) ) -> ( |^| z C_ t -> ( -. |^| z = t -> -. t e. |^| z ) ) )
25	24	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |^| z e. _V /\ A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) ) -> ( -. |^| z = t -> ( |^| z C_ t -> -. t e. |^| z ) ) )
26	15, 25	pm2.61d 170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |^| z e. _V /\ A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) ) -> ( |^| z C_ t -> -. t e. |^| z ) )
27	6, 26	sylanb 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z =/= (/) /\ A. u ( ( u C. |^| z /\ Tr u ) -> u e. |^| z ) ) -> ( |^| z C_ t -> -. t e. |^| z ) )
28	5, 27	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( z =/= (/) /\ A. x e. z A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) ) -> ( |^| z C_ t -> -. t e. |^| z ) )
29	4, 28	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( ( z =/= (/) /\ A. x e. z A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) ) -> ( t e. z -> -. t e. |^| z ) )
30	29	ralrimiv 2965	. . . . . . 7 |- ( ( z =/= (/) /\ A. x e. z A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) ) -> A. t e. z -. t e. |^| z )
31		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( w = |^| z -> ( t e. w <-> t e. |^| z ) )
32	31	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( w = |^| z -> ( -. t e. w <-> -. t e. |^| z ) )
33	32	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( w = |^| z -> ( A. t e. z -. t e. w <-> A. t e. z -. t e. |^| z ) )
34	33	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( |^| z e. z /\ A. t e. z -. t e. |^| z ) -> E. w e. z A. t e. z -. t e. w )
35	3, 30, 34	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( z =/= (/) /\ A. x e. z A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) ) -> E. w e. z A. t e. z -. t e. w )
36	35	expcom 451	. . . . 5 |- ( A. x e. z A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( z =/= (/) -> E. w e. z A. t e. z -. t e. w ) )
37	1, 36	syl6com 37	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( z C_ A -> ( z =/= (/) -> E. w e. z A. t e. z -. t e. w ) ) )
38	37	impd 447	. . 3 |- ( A. x e. A A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( ( z C_ A /\ z =/= (/) ) -> E. w e. z A. t e. z -. t e. w ) )
39	38	alrimiv 1855	. 2 |- ( A. x e. A A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) ) -> E. w e. z A. t e. z -. t e. w ) )
40		df-fr 5073	. . 3 |- ( _E Fr A <-> A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) ) -> E. w e. z A. t e. z -. t _E w ) )
41		epel 5032	. . . . . . . 8 |- ( t _E w <-> t e. w )
42	41	notbii 310	. . . . . . 7 |- ( -. t _E w <-> -. t e. w )
43	42	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. t e. z -. t _E w <-> A. t e. z -. t e. w )
44	43	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. w e. z A. t e. z -. t _E w <-> E. w e. z A. t e. z -. t e. w )
45	44	imbi2i 326	. . . 4 |- ( ( ( z C_ A /\ z =/= (/) ) -> E. w e. z A. t e. z -. t _E w ) <-> ( ( z C_ A /\ z =/= (/) ) -> E. w e. z A. t e. z -. t e. w ) )
46	45	albii 1747	. . 3 |- ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) ) -> E. w e. z A. t e. z -. t _E w ) <-> A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) ) -> E. w e. z A. t e. z -. t e. w ) )
47	40, 46	bitri 264	. 2 |- ( _E Fr A <-> A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) ) -> E. w e. z A. t e. z -. t e. w ) )
48	39, 47	sylibr 224	1 |- ( A. x e. A A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> _E Fr A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   Tr wtr 4752   _E cep 5028   Fr wfr 5070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-fr 5073  df-suc 5729

This theorem is referenced by:  dfon2  31697