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Theorem difmapsn 39404
Description: Difference of two sets exponentiatiated to a singleton. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
difmapsn.a |- ( ph -> A e. V )
difmapsn.b |- ( ph -> B e. W )
difmapsn.v |- ( ph -> C e. Z )
Assertion
Ref Expression
difmapsn |- ( ph -> ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) = ( ( A \ B ) ^m { C } ) )
Proof of Theorem difmapsn
Dummy variable f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3732 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) -> f e. ( A ^m { C } ) )
21adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> f e. ( A ^m { C } ) )
3 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( A ^m { C } ) -> f : { C } --> A )
43adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. ( A ^m { C } ) ) -> f : { C } --> A )
5 difmapsn.v . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. Z )
6 fsn2g 6405 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. Z -> ( f : { C } --> A <-> ( ( f ` C ) e. A /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( f : { C } --> A <-> ( ( f ` C ) e. A /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
87adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. ( A ^m { C } ) ) -> ( f : { C } --> A <-> ( ( f ` C ) e. A /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
94, 8mpbid 222 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. ( A ^m { C } ) ) -> ( ( f ` C ) e. A /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) )
109simpld 475 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. ( A ^m { C } ) ) -> ( f ` C ) e. A )
112, 10syldan 487 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> ( f ` C ) e. A )
12 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> ( f ` C ) e. B )
139simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. ( A ^m { C } ) ) -> f = { <. C , ( f ` C ) >. } )
142, 13syldan 487 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> f = { <. C , ( f ` C ) >. } )
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> f = { <. C , ( f ` C ) >. } )
1612, 15jca 554 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> ( ( f ` C ) e. B /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) )
17 fsn2g 6405 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. Z -> ( f : { C } --> B <-> ( ( f ` C ) e. B /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
185, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( f : { C } --> B <-> ( ( f ` C ) e. B /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
1918ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> ( f : { C } --> B <-> ( ( f ` C ) e. B /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
2016, 19mpbird 247 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> f : { C } --> B )
21 difmapsn.b . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. W )
2221ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> B e. W )
23 snex 4908 . . . . . . . . . . . 12 |- { C } e. _V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> { C } e. _V )
2522, 24elmapd 7871 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> ( f e. ( B ^m { C } ) <-> f : { C } --> B ) )
2620, 25mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> f e. ( B ^m { C } ) )
27 eldifn 3733 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) -> -. f e. ( B ^m { C } ) )
2827ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> -. f e. ( B ^m { C } ) )
2926, 28pm2.65da 600 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> -. ( f ` C ) e. B )
3011, 29eldifd 3585 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> ( f ` C ) e. ( A \ B ) )
3130, 14jca 554 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> ( ( f ` C ) e. ( A \ B ) /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) )
32 fsn2g 6405 . . . . . . . 8 |- ( C e. Z -> ( f : { C } --> ( A \ B ) <-> ( ( f ` C ) e. ( A \ B ) /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
335, 32syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( f : { C } --> ( A \ B ) <-> ( ( f ` C ) e. ( A \ B ) /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
3433adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> ( f : { C } --> ( A \ B ) <-> ( ( f ` C ) e. ( A \ B ) /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
3531, 34mpbird 247 . . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> f : { C } --> ( A \ B ) )
36 difmapsn.a . . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. V )
37 difssd 3738 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A \ B ) C_ A )
3836, 37ssexd 4805 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A \ B ) e. _V )
3923a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ph -> { C } e. _V )
4038, 39elmapd 7871 . . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. ( ( A \ B ) ^m { C } ) <-> f : { C } --> ( A \ B ) ) )
4140adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> ( f e. ( ( A \ B ) ^m { C } ) <-> f : { C } --> ( A \ B ) ) )
4235, 41mpbird 247 . . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> f e. ( ( A \ B ) ^m { C } ) )
4342ralrimiva 2966 . . 3 |- ( ph -> A. f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) f e. ( ( A \ B ) ^m { C } ) )
44 dfss3 3592 . . 3 |- ( ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) C_ ( ( A \ B ) ^m { C } ) <-> A. f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) f e. ( ( A \ B ) ^m { C } ) )
4543, 44sylibr 224 . 2 |- ( ph -> ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) C_ ( ( A \ B ) ^m { C } ) )
465snn0d 39258 . . 3 |- ( ph -> { C } =/= (/) )
4736, 21, 39, 46difmap 39399 . 2 |- ( ph -> ( ( A \ B ) ^m { C } ) C_ ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) )
4845, 47eqssd 3620 1 |- ( ph -> ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) = ( ( A \ B ) ^m { C } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859
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