Theorem fsumiun 14553

Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiun.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumiun.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
fsumiun.3	|- ( ph -> Disj x e. A B )
fsumiun.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumiun	|- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k   ph, k, x   x, C

Allowed substitution hints:   B( x)   C( k)

Proof of Theorem fsumiun

Dummy variables u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. 2 |- A C_ A
2		fsumiun.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( u = (/) -> ( u C_ A <-> (/) C_ A ) )
4		iuneq1 4534	. . . . . . . . 9 |- ( u = (/) -> U_ x e. u B = U_ x e. (/) B )
5		0iun 4577	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. (/) B = (/)
6	4, 5	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( u = (/) -> U_ x e. u B = (/) )
7	6	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( u = (/) -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. (/) C )
8		sumeq1 14419	. . . . . . 7 |- ( u = (/) -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C )
9	7, 8	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( u = (/) -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) )
10	3, 9	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( u = (/) -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( (/) C_ A -> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) ) )
11	10	imbi2d 330	. . . 4 |- ( u = (/) -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) ) ) )
12		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( u = z -> ( u C_ A <-> z C_ A ) )
13		iuneq1 4534	. . . . . . . 8 |- ( u = z -> U_ x e. u B = U_ x e. z B )
14	13	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( u = z -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. U_ x e. z B C )
15		sumeq1 14419	. . . . . . 7 |- ( u = z -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C )
16	14, 15	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( u = z -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) )
17	12, 16	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( u = z -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) ) )
18	17	imbi2d 330	. . . 4 |- ( u = z -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) ) ) )
19		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( u C_ A <-> ( z u. { w } ) C_ A ) )
20		iuneq1 4534	. . . . . . . 8 |- ( u = ( z u. { w } ) -> U_ x e. u B = U_ x e. ( z u. { w } ) B )
21	20	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( u = ( z u. { w } ) -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C )
22		sumeq1 14419	. . . . . . 7 |- ( u = ( z u. { w } ) -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C )
23	21, 22	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) )
24	19, 23	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
25	24	imbi2d 330	. . . 4 |- ( u = ( z u. { w } ) -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) ) )
26		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( u = A -> ( u C_ A <-> A C_ A ) )
27		iuneq1 4534	. . . . . . . 8 |- ( u = A -> U_ x e. u B = U_ x e. A B )
28	27	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( u = A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ k e. U_ x e. A B C )
29		sumeq1 14419	. . . . . . 7 |- ( u = A -> sum_ x e. u sum_ k e. B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C )
30	28, 29	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( u = A -> ( sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C <-> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) )
31	26, 30	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( u = A -> ( ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) <-> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) ) )
32	31	imbi2d 330	. . . 4 |- ( u = A -> ( ( ph -> ( u C_ A -> sum_ k e. U_ x e. u B C = sum_ x e. u sum_ k e. B C ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) ) ) )
33		sum0 14452	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) C = 0
34		sum0 14452	. . . . . 6 |- sum_ x e. (/) sum_ k e. B C = 0
35	33, 34	eqtr4i 2647	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C
36	35	2a1i 12	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> sum_ k e. (/) C = sum_ x e. (/) sum_ k e. B C ) )
37		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> ( z u. { w } ) C_ A )
38	37	unssad 3790	. . . . . . . . 9 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> z C_ A )
39	38	imim1i 63	. . . . . . . 8 |- ( ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) )
40		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C -> ( sum_ k e. U_ x e. z B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
41		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ z B
42		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
43		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
44	41, 42, 43	cbviun 4557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ x e. { w } B = U_ z e. { w } [_ z / x ]_ B
45		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- w e. _V
46		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> [_ z / x ]_ B = [_ w / x ]_ B )
47	45, 46	iunxsn 4603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ z e. { w } [_ z / x ]_ B = [_ w / x ]_ B
48	44, 47	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. { w } B = [_ w / x ]_ B
49	48	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ x e. z B i^i U_ x e. { w } B ) = ( U_ x e. z B i^i [_ w / x ]_ B )
50		fsumiun.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Disj x e. A B )
51	50	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> Disj x e. A B )
52	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> z C_ A )
53		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z u. { w } ) C_ A )
54	53	unssbd 3791	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> { w } C_ A )
55		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> -. w e. z )
56		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z i^i { w } ) = (/) <-> -. w e. z )
57	55, 56	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z i^i { w } ) = (/) )
58		disjiun 4640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (Disj x e. A B /\ ( z C_ A /\ { w } C_ A /\ ( z i^i { w } ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. z B i^i U_ x e. { w } B ) = (/) )
59	51, 52, 54, 57, 58	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( U_ x e. z B i^i U_ x e. { w } B ) = (/) )
60	49, 59	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( U_ x e. z B i^i [_ w / x ]_ B ) = (/) )
61		iunxun 4605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. ( z u. { w } ) B = ( U_ x e. z B u. U_ x e. { w } B )
62	48	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. z B u. U_ x e. { w } B ) = ( U_ x e. z B u. [_ w / x ]_ B )
63	61, 62	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ x e. ( z u. { w } ) B = ( U_ x e. z B u. [_ w / x ]_ B )
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B = ( U_ x e. z B u. [_ w / x ]_ B ) )
65	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A e. Fin )
66		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. Fin /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z u. { w } ) e. Fin )
67	65, 53, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z u. { w } ) e. Fin )
68		fsumiun.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
69	68	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. A B e. Fin )
70	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. A B e. Fin )
71		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> ( A. x e. A B e. Fin -> A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin ) )
72	53, 70, 71	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
73		iunfi 8254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z u. { w } ) e. Fin /\ A. x e. ( z u. { w } ) B e. Fin ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
74	67, 72, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B e. Fin )
75		iunss1 4532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z u. { w } ) C_ A -> U_ x e. ( z u. { w } ) B C_ U_ x e. A B )
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> U_ x e. ( z u. { w } ) B C_ U_ x e. A B )
77	76	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B ) -> k e. U_ x e. A B )
78		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. U_ x e. A B <-> E. x e. A k e. B )
79		fsumiun.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
80	79	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E. x e. A k e. B -> C e. CC ) )
81	80	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( E. x e. A k e. B -> C e. CC ) )
82	78, 81	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( k e. U_ x e. A B -> C e. CC ) )
83	82	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ k e. U_ x e. A B ) -> C e. CC )
84	77, 83	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B ) -> C e. CC )
85	60, 64, 74, 84	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = ( sum_ k e. U_ x e. z B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
86		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( z u. { w } ) = ( z u. { w } ) )
87	53	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> x e. A )
88	79	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
89	68, 88	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sum_ k e. B C e. CC )
90	89	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. x e. A sum_ k e. B C e. CC )
91	90	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> A. x e. A sum_ k e. B C e. CC )
92	91	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. B C e. CC )
93	87, 92	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> sum_ k e. B C e. CC )
94	57, 86, 67, 93	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ x e. { w } sum_ k e. B C ) )
95		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ z sum_ k e. B C
96		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x C
97	42, 96	nfsum 14421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x sum_ k e. [_ z / x ]_ B C
98	43	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> sum_ k e. B C = sum_ k e. [_ z / x ]_ B C )
99	95, 97, 98	cbvsumi 14427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- sum_ x e. { w } sum_ k e. B C = sum_ z e. { w } sum_ k e. [_ z / x ]_ B C
100	45	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. A <-> { w } C_ A )
101	54, 100	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> w e. A )
102		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
103	102, 96	nfsum 14421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x sum_ k e. [_ w / x ]_ B C
104	103	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC
105		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
106	105	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = w -> sum_ k e. B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
107	106	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = w -> ( sum_ k e. B C e. CC <-> sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC ) )
108	104, 107	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. A -> ( A. x e. A sum_ k e. B C e. CC -> sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC ) )
109	101, 91, 108	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC )
110	46	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> sum_ k e. [_ z / x ]_ B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
111	110	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. _V /\ sum_ k e. [_ w / x ]_ B C e. CC ) -> sum_ z e. { w } sum_ k e. [_ z / x ]_ B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
112	45, 109, 111	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ z e. { w } sum_ k e. [_ z / x ]_ B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
113	99, 112	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ x e. { w } sum_ k e. B C = sum_ k e. [_ w / x ]_ B C )
114	113	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ x e. { w } sum_ k e. B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
115	94, 114	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) )
116	85, 115	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C <-> ( sum_ k e. U_ x e. z B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) = ( sum_ x e. z sum_ k e. B C + sum_ k e. [_ w / x ]_ B C ) ) )
117	40, 116	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. w e. z ) /\ ( z u. { w } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) )
118	117	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. w e. z ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> ( sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
119	118	a2d 29	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. w e. z ) -> ( ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
120	39, 119	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. w e. z ) -> ( ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) )
121	120	expcom 451	. . . . . 6 |- ( -. w e. z -> ( ph -> ( ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) ) )
122	121	a2d 29	. . . . 5 |- ( -. w e. z -> ( ( ph -> ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) ) -> ( ph -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) ) )
123	122	adantl 482	. . . 4 |- ( ( z e. Fin /\ -. w e. z ) -> ( ( ph -> ( z C_ A -> sum_ k e. U_ x e. z B C = sum_ x e. z sum_ k e. B C ) ) -> ( ph -> ( ( z u. { w } ) C_ A -> sum_ k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B C = sum_ x e. ( z u. { w } ) sum_ k e. B C ) ) ) )
124	11, 18, 25, 32, 36, 123	findcard2s 8201	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) ) )
125	2, 124	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C ) )
126	1, 125	mpi 20	1 |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ x e. A sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  hashiun  14554  incexc2  14570  musum  24917  breprexplema  30708  fsumiunss  39807