Theorem sge0iunmptlemfi 40630

Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union (in this lemma, for a finite index set). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0iunmptlemfi.a	|- ( ph -> A e. Fin )
sge0iunmptlemfi.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
sge0iunmptlemfi.dj	|- ( ph -> Disj x e. A B )
sge0iunmptlemfi.c	|- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
sge0iunmptlemfi.re	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
sge0iunmptlemfi	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k   x, C   ph, k, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( k)   V( x, k)

Proof of Theorem sge0iunmptlemfi

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 4534	. . . . 5 |- ( y = (/) -> U_ x e. y B = U_ x e. (/) B )
2	1	mpteq1d 4738	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( k e. U_ x e. y B |-> C ) = ( k e. U_ x e. (/) B |-> C ) )
3	2	fveq2d 6195	. . 3 |- ( y = (/) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. U_ x e. (/) B |-> C ) ) )
4		mpteq1 4737	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) = ( x e. (/) |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
5	4	fveq2d 6195	. . 3 |- ( y = (/) -> (Σ^ ` ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) = (Σ^ ` ( x e. (/) |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
6	3, 5	eqeq12d 2637	. 2 |- ( y = (/) -> ( (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) <-> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. (/) B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. (/) |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) )
7		iuneq1 4534	. . . . 5 |- ( y = z -> U_ x e. y B = U_ x e. z B )
8	7	mpteq1d 4738	. . . 4 |- ( y = z -> ( k e. U_ x e. y B |-> C ) = ( k e. U_ x e. z B |-> C ) )
9	8	fveq2d 6195	. . 3 |- ( y = z -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) )
10		mpteq1 4737	. . . 4 |- ( y = z -> ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) = ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
11	10	fveq2d 6195	. . 3 |- ( y = z -> (Σ^ ` ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2637	. 2 |- ( y = z -> ( (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) <-> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) )
13		iuneq1 4534	. . . . 5 |- ( y = ( z u. { w } ) -> U_ x e. y B = U_ x e. ( z u. { w } ) B )
14	13	mpteq1d 4738	. . . 4 |- ( y = ( z u. { w } ) -> ( k e. U_ x e. y B |-> C ) = ( k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B |-> C ) )
15	14	fveq2d 6195	. . 3 |- ( y = ( z u. { w } ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B |-> C ) ) )
16		mpteq1 4737	. . . 4 |- ( y = ( z u. { w } ) -> ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) = ( x e. ( z u. { w } ) |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
17	16	fveq2d 6195	. . 3 |- ( y = ( z u. { w } ) -> (Σ^ ` ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) = (Σ^ ` ( x e. ( z u. { w } ) |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
18	15, 17	eqeq12d 2637	. 2 |- ( y = ( z u. { w } ) -> ( (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) <-> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. ( z u. { w } ) |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) )
19		iuneq1 4534	. . . . 5 |- ( y = A -> U_ x e. y B = U_ x e. A B )
20	19	mpteq1d 4738	. . . 4 |- ( y = A -> ( k e. U_ x e. y B |-> C ) = ( k e. U_ x e. A B |-> C ) )
21	20	fveq2d 6195	. . 3 |- ( y = A -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) )
22		mpteq1 4737	. . . 4 |- ( y = A -> ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) = ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
23	22	fveq2d 6195	. . 3 |- ( y = A -> (Σ^ ` ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
24	21, 23	eqeq12d 2637	. 2 |- ( y = A -> ( (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) <-> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) )
25		0iun 4577	. . . . . . 7 |- U_ x e. (/) B = (/)
26		mpteq1 4737	. . . . . . 7 |- ( U_ x e. (/) B = (/) -> ( k e. U_ x e. (/) B |-> C ) = ( k e. (/) |-> C ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( k e. U_ x e. (/) B |-> C ) = ( k e. (/) |-> C )
28		mpt0 6021	. . . . . 6 |- ( k e. (/) |-> C ) = (/)
29	27, 28	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( k e. U_ x e. (/) B |-> C ) = (/)
30	29	fveq2i 6194	. . . 4 |- (Σ^ ` ( k e. U_ x e. (/) B |-> C ) ) = (Σ^ ` (/) )
31		mpt0 6021	. . . . 5 |- ( x e. (/) |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) = (/)
32	31	fveq2i 6194	. . . 4 |- (Σ^ ` ( x e. (/) |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) = (Σ^ ` (/) )
33	30, 32	eqtr4i 2647	. . 3 |- (Σ^ ` ( k e. U_ x e. (/) B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. (/) |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
34	33	a1i 11	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. (/) B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. (/) |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
35		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) )
36		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ xΣ^
37		nfiu1 4550	. . . . . . . . 9 |- F/_ x U_ x e. { w } B
38		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x C
39	37, 38	nfmpt 4746	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( k e. U_ x e. { w } B |-> C )
40	36, 39	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ x (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) )
41		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> z C_ A )
42		sge0iunmptlemfi.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. Fin )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> A e. Fin )
44		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> z C_ A )
45		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ z C_ A ) -> z e. Fin )
46	43, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> z e. Fin )
47	41, 46	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> z e. Fin )
48		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> w e. ( A \ z ) )
49		eldifn 3733	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ( A \ z ) -> -. w e. z )
50		disjsn 4246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z i^i { w } ) = (/) <-> -. w e. z )
51	49, 50	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( A \ z ) -> ( z i^i { w } ) = (/) )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) -> ( z i^i { w } ) = (/) )
53	52	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> ( z i^i { w } ) = (/) )
54	53, 50	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> -. w e. z )
55		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ x e. z ) -> ph )
56		ssel2 3598	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z C_ A /\ x e. z ) -> x e. A )
57	56	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ x e. z ) -> x e. A )
58		sge0iunmptlemfi.re	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR )
59	55, 57, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ x e. z ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR )
60	59	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ x e. z ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. CC )
61	60	adantlrr 757	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ x e. z ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. CC )
62		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
63		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
64		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
65	63, 64, 62	iunxsnf 39233	. . . . . . . . . 10 |- U_ x e. { w } B = [_ w / x ]_ B
66	62, 65	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> B = U_ x e. { w } B )
67	66	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( k e. B |-> C ) = ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) )
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = w -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) )
69	65	mpteq1i 4739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) = ( k e. [_ w / x ]_ B |-> C )
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) -> ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) = ( k e. [_ w / x ]_ B |-> C ) )
71	70	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. [_ w / x ]_ B |-> C ) ) )
72		eldifi 3732	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ( A \ z ) -> w e. A )
73		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ph /\ w e. A )
74	63, 38	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( k e. [_ w / x ]_ B |-> C )
75	36, 74	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x (Σ^ ` ( k e. [_ w / x ]_ B |-> C ) )
76		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x RR
77	75, 76	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x (Σ^ ` ( k e. [_ w / x ]_ B |-> C ) ) e. RR
78	73, 77	nfim 1825	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( ph /\ w e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. [_ w / x ]_ B |-> C ) ) e. RR )
79		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( x e. A <-> w e. A ) )
80	79	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ w e. A ) ) )
81	67, 69	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( k e. B |-> C ) = ( k e. [_ w / x ]_ B |-> C ) )
82	81	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. [_ w / x ]_ B |-> C ) ) )
83	82	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR <-> (Σ^ ` ( k e. [_ w / x ]_ B |-> C ) ) e. RR ) )
84	80, 83	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ w e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. [_ w / x ]_ B |-> C ) ) e. RR ) ) )
85	78, 84, 58	chvar 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. [_ w / x ]_ B |-> C ) ) e. RR )
86	72, 85	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) -> (Σ^ ` ( k e. [_ w / x ]_ B |-> C ) ) e. RR )
87	71, 86	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) e. RR )
88	87	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) e. RR )
89	88	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) e. CC )
90	35, 40, 47, 48, 54, 61, 68, 89	fsumsplitsn 14474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> sum_ x e. ( z u. { w } ) (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = ( sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) + (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) )
91	90	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> ( sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) + (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) = sum_ x e. ( z u. { w } ) (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
92	91	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) -> ( sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) + (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) = sum_ x e. ( z u. { w } ) (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
93		iunxun 4605	. . . . . . . . . 10 |- U_ x e. ( z u. { w } ) B = ( U_ x e. z B u. U_ x e. { w } B )
94	93	mpteq1i 4739	. . . . . . . . 9 |- ( k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B |-> C ) = ( k e. ( U_ x e. z B u. U_ x e. { w } B ) |-> C )
95	94	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- (Σ^ ` ( k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. ( U_ x e. z B u. U_ x e. { w } B ) |-> C ) )
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. ( U_ x e. z B u. U_ x e. { w } B ) |-> C ) ) )
97		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) )
98		sge0iunmptlemfi.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
99	98	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. A B e. V )
100		iunexg 7143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. V ) -> U_ x e. A B e. _V )
101	42, 99, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U_ x e. A B e. _V )
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> U_ x e. A B e. _V )
103		iunss1 4532	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ A -> U_ x e. z B C_ U_ x e. A B )
104	103	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> U_ x e. z B C_ U_ x e. A B )
105	102, 104	ssexd 4805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> U_ x e. z B e. _V )
106	105	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> U_ x e. z B e. _V )
107	101	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) -> U_ x e. A B e. _V )
108		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. A -> { w } C_ A )
109	72, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ( A \ z ) -> { w } C_ A )
110		iunss1 4532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { w } C_ A -> U_ x e. { w } B C_ U_ x e. A B )
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ( A \ z ) -> U_ x e. { w } B C_ U_ x e. A B )
112	111	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) -> U_ x e. { w } B C_ U_ x e. A B )
113	107, 112	ssexd 4805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) -> U_ x e. { w } B e. _V )
114	113	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> U_ x e. { w } B e. _V )
115		sge0iunmptlemfi.dj	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Disj x e. A B )
116	115	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> Disj x e. A B )
117	109	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> { w } C_ A )
118		disjiun 4640	. . . . . . . . 9 |- ( (Disj x e. A B /\ ( z C_ A /\ { w } C_ A /\ ( z i^i { w } ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. z B i^i U_ x e. { w } B ) = (/) )
119	116, 41, 117, 53, 118	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> ( U_ x e. z B i^i U_ x e. { w } B ) = (/) )
120		eliun 4524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. U_ x e. z B <-> E. x e. z k e. B )
121	120	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. U_ x e. z B -> E. x e. z k e. B )
122	121	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ k e. U_ x e. z B ) -> E. x e. z k e. B )
123		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ x e. z /\ k e. B ) -> ph )
124	57	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ x e. z /\ k e. B ) -> x e. A )
125		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ x e. z /\ k e. B ) -> k e. B )
126		sge0iunmptlemfi.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
127	123, 124, 125, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ x e. z /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
128	127	3exp 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> ( x e. z -> ( k e. B -> C e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
129	128	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> ( E. x e. z k e. B -> C e. ( 0 [,] +oo ) ) )
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ k e. U_ x e. z B ) -> ( E. x e. z k e. B -> C e. ( 0 [,] +oo ) ) )
131	122, 130	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ k e. U_ x e. z B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
132	131	adantlrr 757	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ k e. U_ x e. z B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
133		eliun 4524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. U_ x e. { w } B <-> E. x e. { w } k e. B )
134	133	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. U_ x e. { w } B -> E. x e. { w } k e. B )
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) /\ k e. U_ x e. { w } B ) -> E. x e. { w } k e. B )
136		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) /\ x e. { w } /\ k e. B ) -> ph )
137	109	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. ( A \ z ) /\ x e. { w } ) -> x e. A )
138	137	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) /\ x e. { w } ) -> x e. A )
139	138	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) /\ x e. { w } /\ k e. B ) -> x e. A )
140		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) /\ x e. { w } /\ k e. B ) -> k e. B )
141	136, 139, 140, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) /\ x e. { w } /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
142	141	3exp 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) -> ( x e. { w } -> ( k e. B -> C e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
143	142	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) -> ( E. x e. { w } k e. B -> C e. ( 0 [,] +oo ) ) )
144	143	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) /\ k e. U_ x e. { w } B ) -> ( E. x e. { w } k e. B -> C e. ( 0 [,] +oo ) ) )
145	135, 144	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w e. ( A \ z ) ) /\ k e. U_ x e. { w } B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
146	145	adantlrl 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ k e. U_ x e. { w } B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
147	97, 106, 114, 119, 132, 146	sge0splitmpt 40628	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. ( U_ x e. z B u. U_ x e. { w } B ) |-> C ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) +e (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) )
148	96, 147	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B |-> C ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) +e (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) )
149	148	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B |-> C ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) +e (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) )
150		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
151	150	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
152	126	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
153		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
154	152, 153	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
155	98, 154	sge0ge0 40601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
156	58, 155	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR /\ 0 <_ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
157		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR /\ 0 <_ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
158	156, 157	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
159	55, 57, 158	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ x e. z ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
160		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) = ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
161	159, 160	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) : z --> ( 0 [,) +oo ) )
162	46, 161	sge0fsum 40604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) = sum_ y e. z ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` y ) )
163	162	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) = sum_ y e. z ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` y ) )
164		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` y ) = ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` x ) )
165		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x z
166		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y z
167		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
168		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x y
169	167, 168	nffv 6198	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` y )
170		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` x )
171	164, 165, 166, 169, 170	cbvsum 14425	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ y e. z ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` y ) = sum_ x e. z ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` x )
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> sum_ y e. z ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` y ) = sum_ x e. z ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` x ) )
173		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. z -> x e. z )
174		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. z -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. _V )
175	160	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. z /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. _V ) -> ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` x ) = (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
176	173, 174, 175	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. z -> ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` x ) = (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
177	176	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ x e. z ) -> ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` x ) = (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
178	177	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> A. x e. z ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` x ) = (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
179	178	sumeq2d 14432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> sum_ x e. z ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` x ) = sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
180	172, 179	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> sum_ y e. z ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` y ) = sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
181	180	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) -> sum_ y e. z ( ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ` y ) = sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
182	151, 163, 181	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z C_ A ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
183	182	adantlrr 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
184	183	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) +e (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) = ( sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) +e (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) )
185	46, 59	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z C_ A ) -> sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR )
186	185	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR )
187		rexadd 12063	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) e. RR ) -> ( sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) +e (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) = ( sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) + (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) )
188	186, 88, 187	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> ( sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) +e (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) = ( sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) + (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) )
189	188	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) -> ( sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) +e (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) = ( sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) + (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) )
190	149, 184, 189	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B |-> C ) ) = ( sum_ x e. z (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) + (Σ^ ` ( k e. U_ x e. { w } B |-> C ) ) ) )
191		snfi 8038	. . . . . . . 8 |- { w } e. Fin
192	191	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> { w } e. Fin )
193		unfi 8227	. . . . . . 7 |- ( ( z e. Fin /\ { w } e. Fin ) -> ( z u. { w } ) e. Fin )
194	47, 192, 193	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> ( z u. { w } ) e. Fin )
195		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> ph )
196	56	ad4ant14 1293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) /\ x e. z ) -> x e. A )
197		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w e. ( A \ z ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) /\ -. x e. z ) -> w e. ( A \ z ) )
198		elunnel1 3754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( z u. { w } ) /\ -. x e. z ) -> x e. { w } )
199		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { w } -> x = w )
200	198, 199	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( z u. { w } ) /\ -. x e. z ) -> x = w )
201	200	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w e. ( A \ z ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) /\ -. x e. z ) -> x = w )
202		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ( A \ z ) /\ x = w ) -> x = w )
203	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ( A \ z ) /\ x = w ) -> w e. A )
204	202, 203	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. ( A \ z ) /\ x = w ) -> x e. A )
205	197, 201, 204	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w e. ( A \ z ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) /\ -. x e. z ) -> x e. A )
206	205	adantlll 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) /\ -. x e. z ) -> x e. A )
207	196, 206	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> x e. A )
208	207	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> x e. A )
209	195, 208, 158	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ x e. ( z u. { w } ) ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
210	194, 209	sge0fsummpt 40607	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> (Σ^ ` ( x e. ( z u. { w } ) |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) = sum_ x e. ( z u. { w } ) (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
211	210	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( x e. ( z u. { w } ) |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) = sum_ x e. ( z u. { w } ) (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
212	92, 190, 211	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. ( z u. { w } ) |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
213	212	ex 450	. 2 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. U_ x e. z B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. z |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. ( z u. { w } ) B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. ( z u. { w } ) |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) )
214	6, 12, 18, 24, 34, 213, 42	findcard2d 8202	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   +ecxad 11944   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  40632