Theorem uniioombllem4 23354

Description: Lemma for uniioombl 23357. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2	|- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
uniioombl.a	|- A = U. ran ( (,) o. F )
uniioombl.e	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
uniioombl.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
uniioombl.g	|- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.s	|- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
uniioombl.t	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
uniioombl.v	|- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
uniioombl.m	|- ( ph -> M e. NN )
uniioombl.m2	|- ( ph -> ( abs ` ( ( T ` M ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
uniioombl.k	|- K = U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) )
uniioombl.n	|- ( ph -> N e. NN )
uniioombl.n2	|- ( ph -> A. j e. ( 1 ... M ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / M ) )
uniioombl.l	|- L = U. ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem4	|- ( ph -> ( vol* ` ( K i^i A ) ) <_ ( ( vol* ` ( K i^i L ) ) + C ) )

Distinct variable groups:   i, j, x, F   i, G, j, x   j, K, x   A, j, x   C, i, j, x   i, M, j, x   i, N, j   ph, i, j, x   T, i, j, x

Allowed substitution hints:   A( i)   S( x, i, j)   E( x, i, j)   K( i)   L( x, i, j)   N( x)

Proof of Theorem uniioombllem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3833	. . . 4 |- ( K i^i A ) C_ K
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( K i^i A ) C_ K )
3		uniioombl.k	. . . . . 6 |- K = U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) )
4		imassrn 5477	. . . . . . 7 |- ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) ) C_ ran ( (,) o. G )
5	4	unissi 4461	. . . . . 6 |- U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) ) C_ U. ran ( (,) o. G )
6	3, 5	eqsstri 3635	. . . . 5 |- K C_ U. ran ( (,) o. G )
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> K C_ U. ran ( (,) o. G ) )
8		uniioombl.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
9	8	uniiccdif 23346	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U. ran ( (,) o. G ) C_ U. ran ( [,] o. G ) /\ ( vol* ` ( U. ran ( [,] o. G ) \ U. ran ( (,) o. G ) ) ) = 0 ) )
10	9	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> U. ran ( (,) o. G ) C_ U. ran ( [,] o. G ) )
11		ovolficcss 23238	. . . . . 6 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> U. ran ( [,] o. G ) C_ RR )
12	8, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> U. ran ( [,] o. G ) C_ RR )
13	10, 12	sstrd 3613	. . . 4 |- ( ph -> U. ran ( (,) o. G ) C_ RR )
14	7, 13	sstrd 3613	. . 3 |- ( ph -> K C_ RR )
15		uniioombl.1	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
16		uniioombl.2	. . . . . 6 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
17		uniioombl.3	. . . . . 6 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
18		uniioombl.a	. . . . . 6 |- A = U. ran ( (,) o. F )
19		uniioombl.e	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
20		uniioombl.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR+ )
21		uniioombl.s	. . . . . 6 |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
22		uniioombl.t	. . . . . 6 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
23		uniioombl.v	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
24	15, 16, 17, 18, 19, 20, 8, 21, 22, 23	uniioombllem1 23349	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR )
25		ssid 3624	. . . . . 6 |- U. ran ( (,) o. G ) C_ U. ran ( (,) o. G )
26	22	ovollb 23247	. . . . . 6 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ U. ran ( (,) o. G ) C_ U. ran ( (,) o. G ) ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. G ) ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
27	8, 25, 26	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. G ) ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
28		ovollecl 23251	. . . . 5 |- ( ( U. ran ( (,) o. G ) C_ RR /\ sup ( ran T , RR* , < ) e. RR /\ ( vol* ` U. ran ( (,) o. G ) ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. G ) ) e. RR )
29	13, 24, 27, 28	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. G ) ) e. RR )
30		ovolsscl 23254	. . . 4 |- ( ( K C_ U. ran ( (,) o. G ) /\ U. ran ( (,) o. G ) C_ RR /\ ( vol* ` U. ran ( (,) o. G ) ) e. RR ) -> ( vol* ` K ) e. RR )
31	7, 13, 29, 30	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` K ) e. RR )
32		ovolsscl 23254	. . 3 |- ( ( ( K i^i A ) C_ K /\ K C_ RR /\ ( vol* ` K ) e. RR ) -> ( vol* ` ( K i^i A ) ) e. RR )
33	2, 14, 31, 32	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` ( K i^i A ) ) e. RR )
34		inss1 3833	. . . . 5 |- ( K i^i L ) C_ K
35	34	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( K i^i L ) C_ K )
36		ovolsscl 23254	. . . 4 |- ( ( ( K i^i L ) C_ K /\ K C_ RR /\ ( vol* ` K ) e. RR ) -> ( vol* ` ( K i^i L ) ) e. RR )
37	35, 14, 31, 36	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( K i^i L ) ) e. RR )
38		ssun2 3777	. . . . . 6 |- U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( ( K i^i L ) u. U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
39		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
40		uniioombl.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. NN )
41	40	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN )
42	41, 39	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
43		uzsplit 12412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 1 ) = ( ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 1 ) = ( ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
45	39, 44	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> NN = ( ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
46	40	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. CC )
47		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
48		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
49	46, 47, 48	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
50	49	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... N ) )
51	50	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 1 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
52	45, 51	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> NN = ( ( 1 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
53	52	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U_ i e. NN ( (,) ` ( F ` i ) ) = U_ i e. ( ( 1 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) )
54		iunxun 4605	. . . . . . . . . . 11 |- U_ i e. ( ( 1 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) = ( U_ i e. ( 1 ... N ) ( (,) ` ( F ` i ) ) u. U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) )
55	53, 54	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U_ i e. NN ( (,) ` ( F ` i ) ) = ( U_ i e. ( 1 ... N ) ( (,) ` ( F ` i ) ) u. U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) )
56		ioof 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
57		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
58		rexpssxrxp 10084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
59	57, 58	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* )
60		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
61	15, 59, 60	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
62		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR /\ F : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR )
63	56, 61, 62	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR )
64		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR -> ( (,) o. F ) Fn NN )
65		fniunfv 6505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) o. F ) Fn NN -> U_ i e. NN ( ( (,) o. F ) ` i ) = U. ran ( (,) o. F ) )
66	63, 64, 65	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U_ i e. NN ( ( (,) o. F ) ` i ) = U. ran ( (,) o. F ) )
67		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` i ) = ( (,) ` ( F ` i ) ) )
68	15, 67	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` i ) = ( (,) ` ( F ` i ) ) )
69	68	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U_ i e. NN ( ( (,) o. F ) ` i ) = U_ i e. NN ( (,) ` ( F ` i ) ) )
70	66, 69	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U. ran ( (,) o. F ) = U_ i e. NN ( (,) ` ( F ` i ) ) )
71	18, 70	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A = U_ i e. NN ( (,) ` ( F ` i ) ) )
72		uniioombl.l	. . . . . . . . . . . 12 |- L = U. ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... N ) )
73		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR -> Fun ( (,) o. F ) )
74		funiunfv 6506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun ( (,) o. F ) -> U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) o. F ) ` i ) = U. ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... N ) ) )
75	63, 73, 74	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) o. F ) ` i ) = U. ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... N ) ) )
76		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... N ) -> i e. NN )
77	15, 76, 67	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` i ) = ( (,) ` ( F ` i ) ) )
78	77	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) o. F ) ` i ) = U_ i e. ( 1 ... N ) ( (,) ` ( F ` i ) ) )
79	75, 78	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U. ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... N ) ) = U_ i e. ( 1 ... N ) ( (,) ` ( F ` i ) ) )
80	72, 79	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L = U_ i e. ( 1 ... N ) ( (,) ` ( F ` i ) ) )
81	80	uneq1d 3766	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L u. U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) = ( U_ i e. ( 1 ... N ) ( (,) ` ( F ` i ) ) u. U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) )
82	55, 71, 81	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A = ( L u. U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) )
83	82	ineq2d 3814	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K i^i A ) = ( K i^i ( L u. U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) ) )
84		indi 3873	. . . . . . . 8 |- ( K i^i ( L u. U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) ) = ( ( K i^i L ) u. ( K i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) )
85	83, 84	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K i^i A ) = ( ( K i^i L ) u. ( K i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) ) )
86		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> G : NN --> ( RR* X. RR* ) )
87	8, 59, 86	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G : NN --> ( RR* X. RR* ) )
88		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR /\ G : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( (,) o. G ) : NN --> ~P RR )
89	56, 87, 88	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( (,) o. G ) : NN --> ~P RR )
90		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) o. G ) : NN --> ~P RR -> Fun ( (,) o. G ) )
91		funiunfv 6506	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun ( (,) o. G ) -> U_ j e. ( 1 ... M ) ( ( (,) o. G ) ` j ) = U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) ) )
92	89, 90, 91	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U_ j e. ( 1 ... M ) ( ( (,) o. G ) ` j ) = U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) ) )
93		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> j e. NN )
94		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( (,) o. G ) ` j ) = ( (,) ` ( G ` j ) ) )
95	8, 93, 94	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( (,) o. G ) ` j ) = ( (,) ` ( G ` j ) ) )
96	95	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U_ j e. ( 1 ... M ) ( ( (,) o. G ) ` j ) = U_ j e. ( 1 ... M ) ( (,) ` ( G ` j ) ) )
97	92, 96	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... M ) ) = U_ j e. ( 1 ... M ) ( (,) ` ( G ` j ) ) )
98	3, 97	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K = U_ j e. ( 1 ... M ) ( (,) ` ( G ` j ) ) )
99	98	ineq2d 3814	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i K ) = ( U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i U_ j e. ( 1 ... M ) ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
100		incom 3805	. . . . . . . . 9 |- ( K i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) = ( U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i K )
101		iunin2 4584	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i ( (,) ` ( F ` i ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) )
102		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i ( (,) ` ( F ` i ) ) )
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i ( (,) ` ( F ` i ) ) ) )
104	103	iuneq2i 4539	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i ( (,) ` ( F ` i ) ) )
105		incom 3805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) )
106	101, 104, 105	3eqtr4ri 2655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) )
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> ( U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
108	107	iuneq2i 4539	. . . . . . . . . 10 |- U_ j e. ( 1 ... M ) ( U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) )
109		iunin2 4584	. . . . . . . . . 10 |- U_ j e. ( 1 ... M ) ( U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i U_ j e. ( 1 ... M ) ( (,) ` ( G ` j ) ) )
110	108, 109	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9 |- U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i U_ j e. ( 1 ... M ) ( (,) ` ( G ` j ) ) )
111	99, 100, 110	3eqtr4g 2681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) = U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
112	111	uneq2d 3767	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K i^i L ) u. ( K i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) ) = ( ( K i^i L ) u. U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
113	85, 112	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K i^i A ) = ( ( K i^i L ) u. U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
114	38, 113	syl5sseqr 3654	. . . . 5 |- ( ph -> U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( K i^i A ) )
115	114, 1	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ K )
116		ovolsscl 23254	. . . 4 |- ( ( U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ K /\ K C_ RR /\ ( vol* ` K ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
117	115, 14, 31, 116	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
118	37, 117	readdcld 10069	. 2 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( K i^i L ) ) + ( vol* ` U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) e. RR )
119	20	rpred 11872	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
120	37, 119	readdcld 10069	. 2 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( K i^i L ) ) + C ) e. RR )
121	113	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( K i^i A ) ) = ( vol* ` ( ( K i^i L ) u. U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) )
122	35, 14	sstrd 3613	. . . 4 |- ( ph -> ( K i^i L ) C_ RR )
123	115, 14	sstrd 3613	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ RR )
124		ovolun 23267	. . . 4 |- ( ( ( ( K i^i L ) C_ RR /\ ( vol* ` ( K i^i L ) ) e. RR ) /\ ( U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ RR /\ ( vol* ` U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( ( K i^i L ) u. U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( K i^i L ) ) + ( vol* ` U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) )
125	122, 37, 123, 117, 124	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( ( K i^i L ) u. U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( K i^i L ) ) + ( vol* ` U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) )
126	121, 125	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` ( K i^i A ) ) <_ ( ( vol* ` ( K i^i L ) ) + ( vol* ` U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) )
127		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
128		iunss 4561	. . . . . . . 8 |- ( U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ K <-> A. j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ K )
129	115, 128	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ K )
130	129	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ K )
131	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> K C_ RR )
132	31	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` K ) e. RR )
133		ovolsscl 23254	. . . . . 6 |- ( ( U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ K /\ K C_ RR /\ ( vol* ` K ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
134	130, 131, 132, 133	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
135	127, 134	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
136	130, 131	sstrd 3613	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ RR )
137	136, 134	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ RR /\ ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR ) )
138	137	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ( 1 ... M ) ( U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ RR /\ ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR ) )
139		ovolfiniun 23269	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... M ) e. Fin /\ A. j e. ( 1 ... M ) ( U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ RR /\ ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR ) ) -> ( vol* ` U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) <_ sum_ j e. ( 1 ... M ) ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
140	127, 138, 139	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) <_ sum_ j e. ( 1 ... M ) ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
141		uniioombl.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
142	119, 141	nndivred 11069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C / M ) e. RR )
143	142	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( C / M ) e. RR )
144	80	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i U_ i e. ( 1 ... N ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) )
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i U_ i e. ( 1 ... N ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) )
146	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 1 ... N ) -> ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i ( (,) ` ( F ` i ) ) ) )
147	146	iuneq2i 4539	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i ( (,) ` ( F ` i ) ) )
148		iunin2 4584	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i ( (,) ` ( F ` i ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i U_ i e. ( 1 ... N ) ( (,) ` ( F ` i ) ) )
149	147, 148	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i U_ i e. ( 1 ... N ) ( (,) ` ( F ` i ) ) )
150	145, 149	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) = U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
151		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
152		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
153	15, 76, 152	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` i ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
154	57, 153	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` i ) e. ( RR X. RR ) )
155		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` i ) e. ( RR X. RR ) -> ( F ` i ) = <. ( 1st ` ( F ` i ) ) , ( 2nd ` ( F ` i ) ) >. )
156	154, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` i ) = <. ( 1st ` ( F ` i ) ) , ( 2nd ` ( F ` i ) ) >. )
157	156	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( (,) ` ( F ` i ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( F ` i ) ) , ( 2nd ` ( F ` i ) ) >. ) )
158		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1st ` ( F ` i ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` i ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( F ` i ) ) , ( 2nd ` ( F ` i ) ) >. )
159	157, 158	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( (,) ` ( F ` i ) ) = ( ( 1st ` ( F ` i ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` i ) ) ) )
160		ioombl 23333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1st ` ( F ` i ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` i ) ) ) e. dom vol
161	159, 160	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( (,) ` ( F ` i ) ) e. dom vol )
162	161	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( (,) ` ( F ` i ) ) e. dom vol )
163		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ j e. NN ) -> ( G ` j ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
164	8, 93, 163	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` j ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
165	57, 164	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` j ) e. ( RR X. RR ) )
166		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G ` j ) e. ( RR X. RR ) -> ( G ` j ) = <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
167	165, 166	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` j ) = <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
168	167	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. ) )
169		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
170	168, 169	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
171		ioombl 23333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) e. dom vol
172	170, 171	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) e. dom vol )
173	172	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) e. dom vol )
174		inmbl 23310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (,) ` ( F ` i ) ) e. dom vol /\ ( (,) ` ( G ` j ) ) e. dom vol ) -> ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. dom vol )
175	162, 173, 174	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. dom vol )
176	175	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. dom vol )
177		finiunmbl 23312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. dom vol ) -> U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. dom vol )
178	151, 176, 177	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. dom vol )
179	150, 178	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) e. dom vol )
180		inss2 3834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) C_ A
181	15	uniiccdif 23346	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( U. ran ( (,) o. F ) C_ U. ran ( [,] o. F ) /\ ( vol* ` ( U. ran ( [,] o. F ) \ U. ran ( (,) o. F ) ) ) = 0 ) )
182	181	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U. ran ( (,) o. F ) C_ U. ran ( [,] o. F ) )
183		ovolficcss 23238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> U. ran ( [,] o. F ) C_ RR )
184	15, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U. ran ( [,] o. F ) C_ RR )
185	182, 184	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U. ran ( (,) o. F ) C_ RR )
186	18, 185	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ RR )
187	186	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> A C_ RR )
188	180, 187	syl5ss 3614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) C_ RR )
189		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) )
190	189	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) ) )
191		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) C_ RR
192	170, 191	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR )
193	170	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) )
194		ovolfcl 23235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
195	8, 93, 194	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
196		ovolioo 23336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
197	195, 196	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
198	193, 197	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
199	195	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR )
200	195	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR )
201	199, 200	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
202	198, 201	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
203		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) ) /\ ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) e. RR )
204	190, 192, 202, 203	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) e. RR )
205		mblsplit 23300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) e. dom vol /\ ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) C_ RR /\ ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) = ( ( vol* ` ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) i^i ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) ) + ( vol* ` ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) \ ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) ) ) )
206	179, 188, 204, 205	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) = ( ( vol* ` ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) i^i ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) ) + ( vol* ` ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) \ ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) ) ) )
207		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... N ) ) C_ ran ( (,) o. F )
208	207	unissi 4461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... N ) ) C_ U. ran ( (,) o. F )
209	208, 72, 18	3sstr4i 3644	. . . . . . . . . . . . 13 |- L C_ A
210		sslin 3839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L C_ A -> ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) C_ ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) )
211	209, 210	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) C_ ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) )
212		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) C_ ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) <-> ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) i^i ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) )
213	211, 212	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) i^i ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) )
214	213	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) i^i ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) )
215		indifdir 3883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A \ L ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( A i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) \ ( L i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
216		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A )
217		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L )
218	216, 217	difeq12i 3726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) \ ( L i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) \ ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) )
219	215, 218	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A \ L ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) \ ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) )
220	82	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( L u. U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) = A )
221	80	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( L i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) = ( U_ i e. ( 1 ... N ) ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) )
222		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = i -> ( F ` x ) = ( F ` i ) )
223	222	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = i -> ( (,) ` ( F ` x ) ) = ( (,) ` ( F ` i ) ) )
224	223	cbvdisjv 4631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) <-> Disj i e. NN ( (,) ` ( F ` i ) ) )
225	16, 224	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Disj i e. NN ( (,) ` ( F ` i ) ) )
226	76	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 ... N ) C_ NN
227	226	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 1 ... N ) C_ NN )
228		uzss 11708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
229	42, 228	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
230	229, 39	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ NN )
231		uzdisj 12413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = (/)
232	50	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 1 ... N ) i^i ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
233	231, 232	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 1 ... N ) i^i ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = (/) )
234		disjiun 4640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( (Disj i e. NN ( (,) ` ( F ` i ) ) /\ ( ( 1 ... N ) C_ NN /\ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ NN /\ ( ( 1 ... N ) i^i ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = (/) ) ) -> ( U_ i e. ( 1 ... N ) ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) = (/) )
235	225, 227, 230, 233, 234	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( U_ i e. ( 1 ... N ) ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) = (/) )
236	221, 235	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( L i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) = (/) )
237		uneqdifeq 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L C_ A /\ ( L i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) = (/) ) -> ( ( L u. U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) = A <-> ( A \ L ) = U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) )
238	209, 236, 237	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( L u. U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) = A <-> ( A \ L ) = U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) )
239	220, 238	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A \ L ) = U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) )
240	239	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( A \ L ) = U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) )
241	240	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i ( A \ L ) ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) ) )
242		incom 3805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A \ L ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i ( A \ L ) )
243	104, 101	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( (,) ` ( F ` i ) ) )
244	241, 242, 243	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( A \ L ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
245	219, 244	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) \ ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) = U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
246	245	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) \ ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) ) = ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
247	214, 246	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( vol* ` ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) i^i ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) ) + ( vol* ` ( ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) \ ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) ) ) = ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) + ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) )
248	206, 247	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) = ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) + ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) )
249	204, 143	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) - ( C / M ) ) e. RR )
250		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) )
251	250	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) ) )
252	192	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR )
253	202	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
254		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) ) /\ ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
255	251, 252, 253, 254	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
256	151, 255	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
257		uniioombl.n2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. j e. ( 1 ... M ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / M ) )
258	257	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / M ) )
259	256, 204, 143	absdifltd 14172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / M ) <-> ( ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) - ( C / M ) ) < sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) < ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) + ( C / M ) ) ) ) )
260	258, 259	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) - ( C / M ) ) < sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) < ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) + ( C / M ) ) ) )
261	260	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) - ( C / M ) ) < sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
262	249, 256, 261	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) - ( C / M ) ) <_ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
263	150	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) = ( vol* ` U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
264		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
265	175, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( vol ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
266	265, 255	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( vol ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
267	175, 266	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR ) )
268	267	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR ) )
269		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( F ` i ) )
270	269	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A. i e. NN ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( F ` i ) )
271	225	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> Disj i e. NN ( (,) ` ( F ` i ) ) )
272		disjss2 4623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. i e. NN ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( F ` i ) ) -> (Disj i e. NN ( (,) ` ( F ` i ) ) -> Disj i e. NN ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
273	270, 271, 272	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> Disj i e. NN ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
274		disjss1 4626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 ... N ) C_ NN -> (Disj i e. NN ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) -> Disj i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
275	226, 273, 274	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> Disj i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
276		volfiniun 23315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR ) /\ Disj i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) -> ( vol ` U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
277	151, 268, 275, 276	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol ` U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
278		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. dom vol -> ( vol ` U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( vol* ` U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
279	178, 278	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol ` U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( vol* ` U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
280	265	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
281	277, 279, 280	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` U_ i e. ( 1 ... N ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
282	263, 281	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
283	262, 282	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) - ( C / M ) ) <_ ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) )
284	282, 256	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) e. RR )
285	204, 143, 284	lesubaddd 10624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) - ( C / M ) ) <_ ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) <-> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) <_ ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) + ( C / M ) ) ) )
286	283, 285	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) <_ ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) + ( C / M ) ) )
287	248, 286	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) + ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) + ( C / M ) ) )
288	134, 143, 284	leadd2d 10622	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) <_ ( C / M ) <-> ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) + ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i L ) ) + ( C / M ) ) ) )
289	287, 288	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) <_ ( C / M ) )
290	127, 134, 143, 289	fsumle 14531	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) <_ sum_ j e. ( 1 ... M ) ( C / M ) )
291	142	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C / M ) e. CC )
292		fsumconst 14522	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... M ) e. Fin /\ ( C / M ) e. CC ) -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( C / M ) = ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. ( C / M ) ) )
293	127, 291, 292	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( C / M ) = ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. ( C / M ) ) )
294		nnnn0 11299	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
295		hashfz1 13134	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
296	141, 294, 295	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
297	296	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. ( C / M ) ) = ( M x. ( C / M ) ) )
298	119	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. CC )
299	141	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
300	141	nnne0d 11065	. . . . . . 7 |- ( ph -> M =/= 0 )
301	298, 299, 300	divcan2d 10803	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. ( C / M ) ) = C )
302	293, 297, 301	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( C / M ) = C )
303	290, 302	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( vol* ` U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) <_ C )
304	117, 135, 119, 140, 303	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) <_ C )
305	117, 119, 37, 304	leadd2dd 10642	. 2 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( K i^i L ) ) + ( vol* ` U_ j e. ( 1 ... M ) U_ i e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( K i^i L ) ) + C ) )
306	33, 118, 120, 126, 305	letrd 10194	1 |- ( ph -> ( vol* ` ( K i^i A ) ) <_ ( ( vol* ` ( K i^i L ) ) + C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Fincfn 7955   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   seqcseq 12801   #chash 13117   abscabs 13974   sum_csu 14416   vol*covol 23231   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  uniioombllem5  23355