Theorem domunsn 8110

Description: Dominance over a set with one element added. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domunsn	|- ( A ~< B -> ( A u. { C } ) ~<_ B )

Proof of Theorem domunsn

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdom0 8092	. . . . 5 |- -. A ~< (/)
2		breq2 4657	. . . . 5 |- ( B = (/) -> ( A ~< B <-> A ~< (/) ) )
3	1, 2	mtbiri 317	. . . 4 |- ( B = (/) -> -. A ~< B )
4	3	con2i 134	. . 3 |- ( A ~< B -> -. B = (/) )
5		neq0 3930	. . 3 |- ( -. B = (/) <-> E. z z e. B )
6	4, 5	sylib 208	. 2 |- ( A ~< B -> E. z z e. B )
7		domdifsn 8043	. . . . 5 |- ( A ~< B -> A ~<_ ( B \ { z } ) )
8	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A ~< B /\ z e. B ) -> A ~<_ ( B \ { z } ) )
9		vex 3203	. . . . . . 7 |- z e. _V
10		en2sn 8037	. . . . . . 7 |- ( ( C e. _V /\ z e. _V ) -> { C } ~~ { z } )
11	9, 10	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( C e. _V -> { C } ~~ { z } )
12		endom 7982	. . . . . 6 |- ( { C } ~~ { z } -> { C } ~<_ { z } )
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( C e. _V -> { C } ~<_ { z } )
14		snprc 4253	. . . . . . 7 |- ( -. C e. _V <-> { C } = (/) )
15	14	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( -. C e. _V -> { C } = (/) )
16		snex 4908	. . . . . . 7 |- { z } e. _V
17	16	0dom 8090	. . . . . 6 |- (/) ~<_ { z }
18	15, 17	syl6eqbr 4692	. . . . 5 |- ( -. C e. _V -> { C } ~<_ { z } )
19	13, 18	pm2.61i 176	. . . 4 |- { C } ~<_ { z }
20		incom 3805	. . . . . 6 |- ( ( B \ { z } ) i^i { z } ) = ( { z } i^i ( B \ { z } ) )
21		disjdif 4040	. . . . . 6 |- ( { z } i^i ( B \ { z } ) ) = (/)
22	20, 21	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( ( B \ { z } ) i^i { z } ) = (/)
23		undom 8048	. . . . 5 |- ( ( ( A ~<_ ( B \ { z } ) /\ { C } ~<_ { z } ) /\ ( ( B \ { z } ) i^i { z } ) = (/) ) -> ( A u. { C } ) ~<_ ( ( B \ { z } ) u. { z } ) )
24	22, 23	mpan2 707	. . . 4 |- ( ( A ~<_ ( B \ { z } ) /\ { C } ~<_ { z } ) -> ( A u. { C } ) ~<_ ( ( B \ { z } ) u. { z } ) )
25	8, 19, 24	sylancl 694	. . 3 |- ( ( A ~< B /\ z e. B ) -> ( A u. { C } ) ~<_ ( ( B \ { z } ) u. { z } ) )
26		uncom 3757	. . . 4 |- ( ( B \ { z } ) u. { z } ) = ( { z } u. ( B \ { z } ) )
27		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( A ~< B /\ z e. B ) -> z e. B )
28	27	snssd 4340	. . . . 5 |- ( ( A ~< B /\ z e. B ) -> { z } C_ B )
29		undif 4049	. . . . 5 |- ( { z } C_ B <-> ( { z } u. ( B \ { z } ) ) = B )
30	28, 29	sylib 208	. . . 4 |- ( ( A ~< B /\ z e. B ) -> ( { z } u. ( B \ { z } ) ) = B )
31	26, 30	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( A ~< B /\ z e. B ) -> ( ( B \ { z } ) u. { z } ) = B )
32	25, 31	breqtrd 4679	. 2 |- ( ( A ~< B /\ z e. B ) -> ( A u. { C } ) ~<_ B )
33	6, 32	exlimddv 1863	1 |- ( A ~< B -> ( A u. { C } ) ~<_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958

This theorem is referenced by:  canthp1lem1  9474